Quadratische Funktionen/Kapitel 3: Die Normalform "f(x) = x² + bx + c"

Die Normalform "f(x) $=$ x² + bx + c"

In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

Folgendes Punkte wirst du kennenlernen:

• Wie komme ich von der Scheitelpunkts- zur Normalform?
• Wie komme ich von der Normal- zur Scheitelpunktsform?

Lernpfadgruppe

• Die quadratische Funktion stellt sich vor
• Die Scheitelpunktsform - f(x) = (x - x_s)² + y_s
• Die Normalform - f(x) = x² + bx + c
• Die modifizierte Normalparabel f(x)= ax²
• Die Scheitelpunktsform, die Normalform und der Parameter a

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Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform "f(x) = (x - x_s)² + y_s" kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die Normalform "f(x) $=$ x² + bx + c". Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform und von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt.

STATION 1: Von der Scheitelpunkts- zur Normalform

Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform "f(x) $=$ (x - x_s)² + y_s" und der Normalform "f(x) $=$ x² + bx + c".

Die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform ist nicht besonders schwer.

Von der Scheitelpunktsform zur Normalform

Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) $=$ (x - 4)² + 5" gegeben. Diese Form soll nun durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme
auf die Form "f(x) $=$ x² + bx + c" gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!

„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:

	Verfahren	Beispiel
1.	y$=$	[x - xs]2 + ys
2.	y$=$	[x - 4]2 + 5
3.	y$=$	[x2 - 8x + 16] + 5
4.	y$=$	x2 - 8x + 21
5.	y$=$	x2 + bx + c

Die Normalform

Die Normalform "f(x) $=$ x² + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) $=$ (x - x_s)² + y_s" durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme.

STATION 2: Von der Normal- zur Scheitelpunktsform

Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie bereits von früher!

In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat. Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.

Bei der Normalform "f(x) = x² + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen deshalb lernen, wie man die Normal- in die Scheitelpunktsform umformt.

Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich quadratische Ergänzung und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.

Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.

„Von der Normalform zur Scheitelpunktsform“:

	Verfahren	Beispiel
1.	Normalform der Parabel:	y $=$ x2 + 6x + 11
2.	Vergleich mit a2 + 2ab + b2:	y $=$ x2 + 2$\cdot$ x $\cdot$ 3 + 11
3.	Quadratische Ergänzung:	y $=$ x2 + 6x + 32 - 32 + 11
4.	Scheitelpunktsform:	y$=$ [x + 3]2 + 2
5.	Scheitelkoordinaten:	S $[-3|2]$

Quadratische Ergänzung

Man gelangt mittels quadratischer Ergänzung von der Normalform "f(x) $=$ x² + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) $=$ (x - x_s)² + y_s".

Löse die folgende Aufgabe!

Quadratische Ergänzung

Du hast drei verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Dabei bekommt jede Funktionsgleichung vier Schritte zugeordnet.

f(x) = x2 - 2x - 2	f(x) = x2 - 2x - 12 + 12 - 2	f(x) = (x - 1)2 - 12 - 2	f(x) = (x - 1)2 - 3	S $[1|-3]$
f(x) = x2 + 10x + 15	f(x) = x2 + 10x + 52 - 52 + 15	f(x) = (x + 5)2 - 52 + 15	f(x) = (x + 5)2 - 10	S $[-5|-10]$
f(x) = x2 + 6x	f(x) = x2 + 6x + 32 - 32	f(x) = (x + 3)2 - 32	f(x) = (x + 3)2 - 9	S $[-3|-9]$

Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen der quadratischen Funktion, die Scheitelpunkts- und Normalform.
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen.

Die modifizierte Normalparabel