Quadratische Funktionen/Kapitel 5: Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a

Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a

In diesem Lernpfad werden alle erlernten Parameter zusammengeführt! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

• Die Scheitelpunktsform und der Parameter a
• Aufgaben zu "f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s"
• Die Normalform und der Parameter a
• Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion

Lernpfadgruppe

• Die quadratische Funktion stellt sich vor
• Die Scheitelpunktsform - f(x) = (x - x_s)² + y_s
• Die Normalform - f(x) = x² + bx + c
• Die modifizierte Normalparabel f(x)= ax²
• Die Scheitelpunktsform, die Normalform und der Parameter a

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Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter.

Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für eine Streckung, Stauchung und Spiegelung der Parabel verantwortlich ist und zum anderen, dass die Parameter y_s und x_s eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken. Wir wollen im Folgenden diese Eigenschaften zusammen mit der Scheitelpunkts- und Normalform betrachten.

Als erstes beginnen wir mit der Scheitelpunktsform und dem Parameter a.

STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a

Quadratische Funktion "f(x)$=$a(x - x_s)² + y_s"

• Versuche mit Hilfe des "GeoGebra-Applets" den Lückentext zu lösen

• Bediene dafür die Schieberegler a, y_s und x_s, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter ins Gedächtnis zu holen

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung y = a[x - x_s]² + y_s. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter a erweitert. Dadurch kommt neben der Verschiebung der Parabel noch die Streckung, Stauchung und Spiegelung dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass sowohl die Verschiebung der Parabel in der Ebene, sowie die Veränderung durch den Vorfaktor a, unabhängig voneinander betrachtet werden.

Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter zu wiederholen, lies den folgenden Merksatz und überprüfe, ob dir alle Eigenschaften klar sind.

Zusammenfassung

Für die quadratische Funktion "f(x)$=$a(x - x_s)² + y_s" gilt:

• Für den Parameter a gilt:
  • Der Parameter a sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder Spiegelung der Parabel
  • Für a > 1 ist der Graph gestreckt und nach oben geöffnet
  • Für 0 < a < 1 ist der Graph gestaucht und nach oben geöffnet
  • Für a < -1 ist der Graph gestreckt und nach unten geöffnet
  • Für -1 < a < 0 ist der Graph gestaucht und nach unten geöffnet

• Für den Parameter x_s gilt:
  • Der Parameter x_s sorgt für eine Verschiebung entlang der x-Achse
  • Für x_s > 0 gilt: Verschiebung nach rechts
  • Für x_s < 0 gilt: Verschiebung nach links

• Für den Parameter y_s gilt:
  • Der Parameter y_s sorgt für eine Verschiebung auf der y-Achse
  • Für y_s > 0 gilt: Verschiebung nach oben
  • Für y_s < 0 gilt: Verschiebung nach unten

STATION 2: Aufgaben zu "f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s"

Ordne den Graphen die richtige Funktionsvorschrift

Du siehst hier sowohl ein paar Graphen, als auch ein paar Funktionsvorschriften der Form "f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s". Versuche die jeweils richtigen Pärchen zu finden.

y = [x - 2,5]2 - 1,5		y = -4[x + 2]2 + 1		y = [x + 3,5]2		y = 5[x + 2,5]2 + 2		y = 2[x - 4]2 - 3

Ich nehme an, dass das kein Problem für dich war. Bei dieser Aufgabe war es nämlich noch nicht nötig den Vorfaktor a zu bestimmen.

Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren!

Kannst du dich noch erinnern, wie man den Vorfaktor a bestimmt?

Finde zu den zwei Graphen die passende Funktionsvorschrift!

Falls du nicht genau weißt, wie du vorgehen sollst, schau dir die Hilfe an!

Wie ist dein Ergebnis:

1. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph a? (!y $=$ 1[x - 4]² - 3) (!y $=$ 3[x – 4]² + 3) (y $=$ 2[x – 4]² - 3)

2. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph b? (!y $=$ -2[x + 2]² + 1) (y $=$ -4[x + 2]² + 1) (!y $=$ -0,5[x + 2]² + 1)

Hilfe:

Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a

• Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt
  
• Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts
  
• Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve
  
• Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Vorfaktor a
  
• Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, dann ist der Wert von a positiv
  
• Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, dann ist der Wert von a negativ
  

Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an!

Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein!

"f(x) $=$ -2x² + 5" (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei $[0 \vert 5]$) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)

"f(x) $=$ (x - 3)² - 2" (!Die Parabel ist gestaucht)(Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei $[0 \vert -2]$)(Die Parabel verläuft durch den Punkt $[0 \vert 7]$) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben)

"f(x) $=$ 6 + 2 (x + 2)²" (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt)

Die gestreckte Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben (!y $=$ 4 [x - 2]² - 4)(!y $=$ 0,2 [x - 2]² + 4)(!y $=$ 2 [x - 2]² + 4)(y $=$ 3 [x + 2]² + 4)(!y $=$ 0,5 [x + 2]² - 4)(!y $=$ 5 [x + 2]² - 4)(!y $=$ 0,8 [x - 2]² + 4)(y $=$ 1,77 [x + 2]² + 4)

Kniffelaufgabe

Welche der folgenden Funktionsvorschriften hat eine Nullstelle? Achtung! Die Aufgabe ist nur durch logisches Denken zu lösen, es ist keine Rechnung erforderlich! (y $=$ 2 [x – 3]² - 2) (!y $=$ 2 [x + 5]² + 1 ) (y $=$ - [x + 1]² + 2) (!y $=$ -3 [x – 1]² -1)

Hilfe:
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!

Eine Nullstelle ist der Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet!

Lösung:

Die richtigen Lösungen sind y $=$ 2 [x – 3]² - 2 und y $=$ - [x + 1]² + 2, deren Graphen farbig hervorgehoben sind.
Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter y_s und den Vorfaktor a an.
Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter y_s zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Parabel unterhalb der x-Achse.
Durch diese Gegebenheit schneidet die Parabel die x-Achse ab einem bestimmten Wert für x.

Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter y_s positiv ist.

STATION 3: Die Normalform und der Parameter a

Auch bei der Normalform ändert sich bei Hinzunahme des Vorfaktors a nicht viel.

Wieder kommt es darauf an, die Normal- in die Scheitelpunktsform und umgekehrt, die Scheitelpunkts- in die Normalform umzuformen.

Wir betrachten zunächst die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform.

Von der Scheitelpunkts- zur Normalform

Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad "Die Normalform f(x) $=$ x² + bx + c" gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst durchführen.

Bringe f(x) $=$ 2(x - 3)² - 4 in die Normalform

Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) $=$ 2(x - 3)² - 4" gegeben. Diese Form soll nun durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme
auf die Form "f(x) $=$ ax² + bx + c" gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!

y$=$	a[x - xs]2 + ys
y$=$	2[x - 3]2 - 4
y$=$	2[x2 - 6x + 9] - 4
y$=$	2x2 - 12x + 14
y$=$	ax2 + bx + c

Von der Scheitelpunktsform zur Normalform

Die Normalform "f(x) $=$ ax² + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s" durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme.

Betrachten wir nun die andere Richtung.

Von der Normal- zur Scheitelpunktsform

Diese Umformung funktioniert genauso, wie das im Lernpfad "Die Normalform f(x) = x² + bx + c" gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform.

Zur Wiederholung, klicke dich durch die folgende Anleitung:

1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p

2. Schritt: Faktor ausklammern

3. Schritt: Quadratische Ergänzung

4. Schritt: Binom erzeugen

5. Schritt: Äußere Klammer auflösen

6. Schritt: Scheitelkoordinaten

Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!

Zuordnung von Funktionsvorschrift, Graph und Scheitelpunkt

Nimm dir ein Blatt und einen Stift zur Hand und stelle zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf. Ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den entsprechenden Funktionsgleichungen zu.

f(x) = 2x2 + 12x + 14	f(x) = 2(x + 3)2 - 4	S[-3,-4]
f(x) = -3x2 + 24x -41	f(x) = -3(x - 4)2 + 7	S[4,7]
f(x) = x2 - 2x - 2	f(x) = (x - 1)2 - 3	S[1,-3]

Lösung quadratische Ergänzung:
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest, kannst du sie dir hier anschauen!

f(x) = 2x² + 12x + 14

          = 2 [x2 + 6x] + 14 
          = 2 [x2 + 6x + 32 - 32] + 14
          = 2 [(x + 3)2 - 32] + 14 
          = 2 (x + 3)2 - 2(32) + 14
          = 2 (x + 3)2 - 18 + 14 
          = 2 (x + 3)2 - 4 

     f(x) = -3x2 + 24x - 41
          = -3 [x2 - 8x] - 41 
          = -3 [x2 - 8x + 42 - 42] - 41
          = -3 [(x - 4)2 - 42] - 41 
          = -3 (x - 4)2 -[-3(-42)] - 41
          = -3 (x - 4)2 + 48 - 41 
          = -3 (x - 4)2 + 7

     f(x) = x2 - 2x - 2
          = (x - 1)2 - 12 - 2 

= (x - 1)² - 3

Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion. Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis. Hier wird alles zuvor Erlernte, in vermischten Aufgaben, abgefragt. Viel Erfolg!

STATION 4: Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion

Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!

Eine Funktion der Form "f(x) = ax² + bx + c" nennt man quadratische Funktion.

Durch Umformen, mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, erhält man die Scheitelpunktsform "f(x) = a(x - x_s)² + y_s".

Anhand der Scheitelpunktsform kann man die Koordinaten für den Scheitelpunkt ablesen.

Der Scheitelpunkt gibt dabei den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel an.

Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach unten geöffnet und der Parameter a ist negativ.

Ist der Vorfaktor hingegen positiv, so besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt und die Parabel ist nach oben geöffnet.

Außerdem bewirkt der Parameter a eine Streckung, Stauchung, und/oder eine "Spiegelung" der Parabel.

Nimmt der Vorfaktor einen Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel gestaucht.

Ist hingegen der Vorfaktor a kleiner -1 oder größer +1, so wird die Parabel gestreckt.

Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Parameter a, existieren noch die Parameter x_s und y_s, die für eine Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

Für y_s > 0 wird die Parabel nach oben und für y_s < 0 nach unten verschoben.

Ähnlich verhält es sich bei dem Parameter x_s, der für eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung sorgt.

Hier wird für x_s > 0 nach rechts und für x_s < 0 nach links verschoben.

{{Box|1=Kniffelaufgabe|2= Gegeben ist die Funktion "f(x) = 0,5x² - x - 2,5"

In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man ihn? (!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen) (Schnittpunkt mit y-Achse: $[0 \vert -2,5]$) (Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert) (!Schnittpunkt mit y-Achse: $[1 \vert 2,5]$)

Tipp!

Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel die y-Achse schneidet.

Tipp!:

Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet, ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert.

Erklärung:

Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert.

y = 0,5x2 - x - 2,5      
y = 0,5(0)2 - 0 - 2,5

y = -2,5

Quiz

Finde die richtigen Lösungen! Es können auch mehrere Antworten möglich sein!

Für die Funktion "f(x) $=$ x² + 2" gilt: (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S $[0|2]$) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S $[2|0]$) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet)

Diese Funktion ist keine quadratische Funktion: (!y $=$ [x - 2]²)(!y $=$ 2x² + 3 - 5x)(y $=$ 2x³ + 2x + 3) (y $=$ 8 + 2x) (!y $=$ [x + 3][x - 3])

Für die Funktion "f(x) $=$ 2x² + 2x" gilt: (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist gestreckt)

Für den Graph der Funktion "f(x) $=$ -2 [x + 3]² - 2" gilt: (Der Graph geht nicht durch den Koordinatenursprung)(Der Graph ist identisch mit y $=$ -2x² -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)

Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S $[3|-2]$? (!y $=$ 2x² + 3x + 3) (y $=$ -3[x - 3]² - 2) (y $=$ 5[x - 3]² - 2) (!y $=$ 12 [x + 3] - 2)

Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt: (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter y_s ist negativ) (y $=$ 2[x - 5]² + 2) (!y $=$ [x + 6]² - 1)

Spitze!

Nun kennst du die "Quadratische Funktion"!!!