Quadratische Funktionen/Die Quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)² + ys" - Die Scheitelpunktsform

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Die Quadratische Funktion "f(x)(x - xs)2 + ys" - Die Scheitelpunktsform

In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad

  • Der Parameter ys stellt sich vor
  • Aufgaben zum Parameter ys
  • Der Parameter xs stellt sich vor
  • Aufgaben zum Parameter xs
  • Zusammenführung der Parameter ys und xs zur Scheitelpunktsform
  • Aufgaben zur Scheitelpunktsform



Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion "f(x) = x2" kennengelernt.

In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei zusätzlichen Parametern beschäftigen.

Bevor wir beginnen, soll zunächst noch ein neuer Begriff eingeführt werden, da dieser später häufiger verwendet wird.

Normalparabel
Die quadratische Funktion "f(x)x2" ist eine spezielle Parabel. Von ihr ausgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb Normalparabel


STATION 1: Der Parameter ys stellt sich vor

Zunächst betrachten wir den Parameter ys, welcher zur quadratischen Funktion "f(x) = x2" dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:

                                    f(x) = x2 + ys


Bearbeite die kommenden Aufgaben und entdecke die Eigenschaften vom Parameter ys!


Hinweis:

  • In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt und die von ys abhängige, quadratische Funktion blau eingezeichnet


Der Parameter ys
GeoGebra

Bediene den Schieberegler ys. Welche Veränderungen stellst du fest?


Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter ys verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.
Ist der Parameter ys positiv, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben.
Ist der Parameter ys hingegen negativ, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben.
Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt S[0,ys]. Zudem ist die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.


Der Parameter ys

Für die quadratische Funktion "f(x)x² + ys" gilt:

  • Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der y-Achse
  • Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
  • Für ys > 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach oben
  • Für ys < 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach unten
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S (0, ys)
  • Die y-Achse ist Symmetrieachse


Es folgen nun Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.


STATION 2: Aufgaben zum Parameter ys - zum Vertiefen

Ordne zu!

Du siehst hier fünf verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x2 + ys". Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung. Falls du Probleme hast, betrachte nochmals die Veränderungen des oben aufgeführten Graphen.

Parabele1.png Parabele2.png Parabele3.png Parabele4.png Parabele5.png
y x2 + 2,5 y x2 + 1,5 y x2 y x2 - 3,5 y x2 - 0,5



Ordne den Funktionen den richtigen Scheitelpunkt zu!

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

y x2 + 4,7
y x2 - 23
y x2 - 2,5
y x2
y x2 + 13


Ordne den Scheitelpunkten die richtige Funktion zu!

Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S.

y x2 + 5,2 S[0,5,2]
y 3 + x2 S[0,3]
y x2 - 3 S[0,-3]
y x2 S[0,0]


Ordne den Funktionen den passenden Scheitelpunkt zu!

Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen, sowie fünf verschiedene Koordinaten.
Finde zu jeder Funktionsgleichung den Punkt, der auf ihrer Parabel liegt.
Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel gehört.

Hilfe/Tipp: Es liegt nur dann ein Punkt auf der Parabel,
wenn durch Einsetzen eines x-Wertes,
der zugehörige y-Wert herauskommt.


y x2 - 1 S[3,8]
y x2 - 5 S[3,4]
y x2 + 0 S[2,4]
y x2 + 2 S[1,3]
y x2 + 4 S[2,8]


Überprüfe dein Ergebnis mit dem "GeoGebra-Applet". Verschiebe dafür die Parabel entsprechend der Funktionsgleichung.


GeoGebra


STATION 3: Der Parameter xs stellt sich vor

Nachdem du jetzt den Parameter ys kennst, wollen wir uns mit dem Parameter xs beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:

                                       f(x) = (x - xs)2


Erstes Kennenlernen!

Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler xs in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-gestrichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine, mit gehaltener linker Maustaste, in die Lücken.

GeoGebra


Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter xs der quadratischen Funktion "f(x) = (x - xs)2" bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebumg des Parameters ys, ist die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. Mit Hilfe des Schiebereglers xs stellt man fest, dass für positive Werte eine Verschiebung um x-Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von xs negativ, so wird der Graph um x-Einheiten nach links verschoben.
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x - xs]2". Man macht leicht den Fehler und stellt für positve Werte die Gleichung "f(x) = [x + xs]2" auf. Da die Funktionsgleichung jedoch "f(x) = (x - xs)2" lautet, entsteht für positive Werte eine Differenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative Werte von xs, denn dort lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x + xs]2". Der Scheitelpunkt liegt im Punkt "S [xs,0]", denn der y-Wert bleibt Null. Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.


Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!


Der Parameter xs

Für die quadratische Funktion "f(x)(x - xs)2" gilt:

  • Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der x-Achse
  • Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
  • Für xs > 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach rechts
  • Für xs < 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach links
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S (xs, 0)
  • Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse


Achtung
  • Für xs > 0, mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x – xs)2"

Beispiel: Für xs = 5: f(x) = (x - 5)2

  • Für xs < 0, mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x + xs)2"
Beispiel: Für xs = -5: f(x) = (x + 5)2


Ebenso wie beim Parameter ys, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen.


STATION 4: Aufgaben zum Parameter xs

Ordne den Graphen die richtige Funktionsgleichung zu

Gegeben sind die Graphen fünf verschiedener quadratischer Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:

Parabeld-4,5.jpg Parabeld-2,5.jpg Parabeld0.jpg Parabeld2.jpg Parabeld5.jpg
y [x + 4,5]2 y [x + 2,5]2 y [x + 0]2 y [x - 2]2 y [x - 5]2



Ordne den Funktionen den richtigen Scheitelpunkt zu

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

Scheitelpunkt Funktionsgleichung
1. S y [x - 2,5]2
2. S y [x + 3]2
3. S y [x + 2,5]2
4. S y x2
5. S y [x - 3]2



Verschiebe die Parabeln richtig!

Du siehst im folgenden Koordinatensystem drei Parabeln. Man kann diese drei Parabeln durch Bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen.

     f(x) = (x - 2)2
     f(x) = (x - 5)2
     f(x) = (x + 3)2

Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst.

GeoGebra


STATION 5: Zusammenführung der Parameter ys und xs zur Scheitelpunktsform

Bevor wir nun die beiden Parameter ys und xs zusammenführen, wollen wir die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. Mal sehen, wer am wenigstens Versuche braucht!


Frage Antwort
1. Wie lautet der Scheitelpunkt für "y [x - 2]2"? S
2. Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse? y x2 - ys
3. Wie lautet der Scheitelpunkt für "y x2 - 4"? S
4. Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse? y [x + xs]2
5. Wie lautet der Scheitelpunkt für "y x2 + 2"? S
6. Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse? y [x - xs]2
7. Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse? y x2 + ys
8. Wie lautet der Scheitelpunkt für "y [x + 4]2"? S


Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.

In dieser Lerneinheit hast du die Parameter ys und xs einzeln kennengelernt.

Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)2 + ys", in der beide Parameter integriert sind.

Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat. Während der Parameter ys für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter xs den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)2 + ys" deshalb Scheitelpunktsform.
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter xs und ys.

Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun noch mal abgefragt. Viel Erfolg!



Quiz
GeoGebra

Hinweise:

  • In dem "GeoGebra-Applet" siehst du die verschobene Normalparabel
  • Mit den Schiebereglern ys und xs kannst du die Lage der Parabel verändern
  • Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen


Quiz:

Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. In deiner Lösung dürfen keine Bindestriche vorkommen, z.B. für die x-Achse schreibt man xAchse. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.

Scheitelpunkt Wie nennt man den Punkt S(xs, ys) der Parabel?
Scheitelpunktsform Wie bezeichnet man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - xs)² + ys?
Symmetrieachse Wie heißt die Achse, für die x = ys gilt?
Normalparabel Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent?
Unten In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4?
x-Achse Auf welcher Achse verschiebt der Parameter xs die Parabel?
Ebene Die Parameter xs und ys bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der...
y-Achse Auf welcher Achse verschiebt der Parameter ys die Parabel?
Zwei Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben?


Die verschobene Parabel

Für die quadratische Funktion "f(x)(x - xs)2 + ys" gilt:

  • Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel in der Ebene
  • Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
  • Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um x Einheiten entlang der x-Achse und um y Einheiten entlang der y-Achse
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S (xs, ys)
  • Die Symmetrieachse hat die Gleichung "x ys"


STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform

Kreuze alle richtigen Aussagen an!

"f(x) (x - 5)2 - 3" (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S )(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S ) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)

"f(x) 5 + (x + 12)2" (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)

"f(x) x2 + 3" (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt S ) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)

"f(x) -5 + (x - 6)2" (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)


Ordne den Scheitelpunkten die richtige Funktion zu

Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:

S y [x - 2]2 - 5
S y [x - 4]2 - 8
S y [x - 4]2 + 8
S y [x - 5]2 - 2


Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!
Parabel1lo.jpg Parabel1ro.jpg Parabel1ru.jpg Parabel1lu.jpg
y [x + 3]2 + 4 y [x - 3]2 + 2 y [x - 1]2 - 5 y [x + 5]2 - 1



Kniffelaufgabe

Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken.
Gegeben ist die Funktion "f(x) = (x + 3)2 + 1,5" und die Punkte W, X, T und P. Welche dieser Punkte liegt auf dem Graph? Überprüfe dies durch Kopfrechnung!

     a)	W  
     b)	X  
     c)	T  
     d)	P  


Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen!

Setze den x-Wert in die Gleichung ein, wenn du den vorgegebenen y-Wert erhälst, dann liegt der Punkt auf der Parabel


Bediene nun den Schieberegler, um den Graph der Funktion an die richtige Stelle zu positionieren. Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.

GeoGebra

Prima!

Damit kennst du nun die Parameter xs und ys, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen.