Quadratische Funktionen/Die Quadratische Funktion stellt sich vor

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Die Quadratische Funktion stellt sich vor

In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion kennen!

Folgendes Punkte wirst du kennenlernen:

  • Einführung und Eigenschaften der quadratischen Funktion
  • Die Funktionsvorschrift der quadratischen Funktion
  • Besondere Eigenschaft der quadratischen Funktion



Auf gehts:

Heute lernen wir eine neue Klasse von Funktionen kennen!

Es handelt sich dabei um die "Quadratische Funktion".

Aus der 8. Jahrgangsstufe kennst du bereits die "Lineare Funktion".

Wir wollen im Folgenden die quadratische Funktion im Vergleich zur linearen Funktion einführen.


STATION 1: Einführung und Eigenschaften der quadratischen Funktion

Schau dir jeweils den Graph der linearen und der quadratischen Funktion genau an und bearbeite danach die Aufgaben rechts daneben:

Funktionsgraphen

Lineare Funktion
Lineare-funktion-lernpfad1.png
Quadratische Funktion
Quadratische-funktion-lernpfad1.png

Bearbeite nun die Aufgaben:


Lineare vs. Quadratische Funktion

Betrachte die beiden Graphen und löse damit das Quiz! Beim Prüfen der Antworten wird dir "rot" angezeigt was du falsch angekreuzt hast. Überprüfe im Anschluss deine Ergebnisse und versuche die richtigen Antworten nachzuvollziehen!

Quiz:

Betrachte den Anstieg beider Graphen. Welche Aussagen treffen zu? (Die lineare Funktion hat eine konstante Steigung) (!Die quadratische Funktion hat eine konstante Steigung) (!Die lineare Funktion hat keine Steigung) (Die Steigung der quadratischen Funktion ist nicht konstant)

Wie bezeichnet man den Graph der jeweiligen Funktion? (!Die lineare Funktion ist ein Kreis) (!Die quadratische Funktion ist eine Gerade) (Die quadratische Funktion ist eine Parabel) (Die lineare Funktion ist eine Gerade)

Untersucht man beide Graphen auf Symmetrie, zu welchem Ergebnis gelangt man? (!Die lineare Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (Die quadratische Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (!Die quadratische Funktion hat keine Symmetrieachse) (Die lineare Funktion hat keine Symmetrieachse)

Betrachte die Form der Graphen, welche Aussage ist zutreffend? (Die quadratische Funktion ist nach oben geöffnet) (!Die lineare Funktion besitzt eine Öffnung) (Die quadratische Funktion hat einen tiefsten Punkt und zwar im Koordinatenursprung) (Die lineare Funktion hat keinen tiefsten Punkt)


Begrifflichkeiten

Mit dieser Aufgabe sollen nun die Eigenschaften der quadratischen Funktion festgehalten werden.

Ziehe dafür die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die Felder. Anschließend kannst du dein Ergebnis überprüfen. Hast du etwas falsch zugeordnet, kannst du anschließend diese Felder neu besetzen.

Los geht’s!! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Anders als bei den linearen Funktionen ist die Steigung der quadratischen Funktion nicht konstant.
Den Graph der quadratischen Funktion nennt man Parabel.
Es lässt sich feststellen, dass die Parabel symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet ist.
Die quadratische Funktion besitzt zudem einen tiefsten Punkt im Koordinatenursprung bei Punkt S (0|0).
Dieser Punkt wird als Scheitelpunkt S oder kurz Scheitel bezeichnet.


Die quadratische Funktion
  • Der Graph ist eine Parabel
  • Der Graph hat eine nicht konstante Steigung
  • Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet
  • Der Graph hat einen tiefsten Punkt
  • Der tiefste Punkt heißt Scheitelpunkt S, oder kurz Scheitel
  • Der Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung bei Punkt


STATION 2: Die Funktionsvorschrift der quadratischen Funktion

Bisher haben wir uns nur den Graph und die Eigenschaften der quadratischen Funktion angeschaut, aber was für eine Funktionsvorschrift verbirgt sich dahinter? Diesmal bekommst du zuerst das Ergebnis vorgestellst, welches du dir in der anschließenden Aufgabe näher betrachten sollst.


Funktionsgleichung

Die quadratische Funktion besitzt die Funktionsgleichung der Form:

                 f(x)x2
Dabei gilt: jeder y-Wert ergibt sich aus dem Quadrat des x-Wertes. Außerdem gilt:



Aufgabe:

Du siehst hier zwei Koordinatensysteme. In jedem Koordinatensystem sind mehrere Punkte eingezeichnet. Diese Punkte kannst du mit gehaltener linker Maustaste nach oben oder unten verschieben. Des Weiteren gibt es jeweils das Kontrollkästchen "Graph anzeigen", mit dem du nach bearbeiten der Aufgabe dein Ergebnis überprüfen kannst.

Verschiebe die Punkte so, dass sie genau auf dem Graph der jeweiligen Funktion liegen würden und überprüfe dann dein Ergebnis durch Anklicken des Kontrollkästchens. Liegen deine Punkte alle auf dem Graph, so hast du die Aufgabe korrekt gelöst.

Beginne zunächst mit der linearen Funktion "f(x) = x" und überlege dir dann, wo die Punkte der quadratischen Funktion "f(x) = x²" liegen.

GeoGebra
GeoGebra


STATION 3: Besondere Eigenschaft der quadratischen Funktion

Kniffelaufgabe

In dieser Aufgabe soll eine voher gezeigte Eigenschaft genauer betrachtet werden. Löse dafür die kleine Kniffelaufgabe. Keine Angst, sie ist nicht schwer.

Überprüfe, welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch ist und finde das richtige Ergebnis für "x = 3".

Betrachtet werden soll natürlich die quadratische Funktion "f(x) = x2".
Vorgabe Richtig/Falsch Begründung
1. -f[x] f[x] falsch
weil -9 9
2. f[-x] f[x] richtig
weil 9 9
3. -f[x] f[-x] falsch
weil -9 9
4. -f[-x] f[x] falsch
weil -9 9

Was sagt dir dieses Ergebnis? (!Nichts) (Das Ergebnis zeigt die Symmetrieeigenschaft der quadratischen Funktion) (Jedem x-Wert, egal ob positiv oder negativ, wird der gleiche y-Wert zugeordnet)



Symmetrie der quadratischen Funktion

Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der quadratischen Funktion gilt:

             f(-x)f(x), da (-x)2(x)2
Begründung: Jedem x-Wert, egal ob positiv oder negativ, wird der gleiche y-Wert zugeordnet.


Hier ist die Einführung der quadratischen Funktion "f(x) = x2" abgeschlossen.
In den folgenden Lerneinheiten wird dann mit dieser Funktion gearbeitet. Neue Parameter werden die Parabel verändern, aber siehe selbst!!