(Lineare) Funktionen
(Lineare) Funktionen
Was ist eine Funktion? (Definition Funktion)
Schauen wir uns einen Graphen an, der den gefahrenen Weg eines Fahrstuhls zeigt. Wobei die x-Achse die Zeit und die y-Achse das jeweilige Stockwerk ist:
Zu jeder Zeit (z.B. 0 s, 3 s, 6 s, ...) gehört immer genau ein Stockwerk.
Der Fahrstuhl kann nicht gleichzeitig in unterschiedlichen Stockwerken zur selben Zeit sein!
Allgemein bedeutet das:
Funktionen ordnen jedem Eingangswert genau einen Ausgangswert zu. Also zu jedem x-Wert gehört genau ein y-Wert.
Solche Zuordnungen nennt man auch eindeutige Zuordnungen oder Funktionen.
Aufgabe: Ist das eine Funktion?
Stellen die abbgebildeten Graphen eine Funktion dar?
Was sind proportionale Funktionen?
Wenn etwas nicht bei 0 startet - was dann?
Im echten Leben gibt es viele Situationen, in denen etwas nicht bei 0 beginnt.
Hier gibt es also einen Startwert, der nicht 0 ist. Das heißt:
Die Zuordnung ist nicht proportional, aber trotzdem gleichmäßig!
Einen solchen Zusammenhang nennen wir linear. Also heißen die dazugehörigen Funktionen:
Lineare Funktionen sind proportionale Zuordnungen, die nicht durch den Ursprung (0|0) geht.
Das heißt eine lineare Funktion besteht aus einem Startwert, der nicht 0 sein muss und einer gleichmäßigen Änderung (linearer Zusammenhang).Aufgabe: Linear oder nicht linear?
Entscheide, ob es sich bei den gegebenen Beispielen um lineare Zusammenhänge handelt oder nicht.
Gleichmäßige Änderung:
- pro Sekunde 1 cm Wachstum
- pro Stunde 5 km Strecke
Startwert, der nicht 0 sein muss:
- Startgebühren beim Taxi
- Start im 2. Stock
- Startfüllstand eines Tanks beim tanken
Wie sieht das im Koordinatensystem aus?
Aus diesem Graphen lässt sich schlussfolgern, dass:
- Jeder proportionale Zusammenhang linear,
- aber nicht jeder lineare Zusammenhang proportional ist!
Aufgabe
Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!
Du bist dir noch unsicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
Du bist dir schon sicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
Zusammenfassung
In diesem Kapitel hast du lineare Zusammenhänge anhand von Beispielen aus deinem Alltag kennengelernt.
Schreibe die wichtigsten Erkenntnisse über lineare Funktionen in dein Heft.
Gehe dabei auf Besonderheiten wie gleichmäßige Veränderung und den Startwert ein. Beachte außerdem, wie sich die einzelnen Punkte im Koordinatensystem verhalten.Falls du dir noch unsicher bist, findest du hier eine Liste:
- Du hast gesehen, dass die Werte gleichmäßig wachsen oder fallen.
- Du hast erkannt, dass es oft einen Startwert gibt.
- Du hast gesehen, dass die Punkte im Koordinatensystem auf einer Geraden liegen.
- Und du weißt: Lineare Zusammenhänge sind eindeutige Zuordnungen, also Funktionen.
