Funktionsgleichung linearer Funktionen

Inhaltsverzeichnis

1. Startseite
2. Wiederholung Zuordnungen
3. (Lineare) Funktionen
4. Funktionsgleichung linearer Funktionen

Die Formel $y=k \cdot x$ hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

Funktionsgleichung einer linearen Funktion

Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

$$y = m \cdot x+b$$

Der Parameter m

In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.

Bewege den Schieberegler m. Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?

Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.

Übung

Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:

• Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
• Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
• Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
• Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
• Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
• Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
• Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
• Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .

Die Steigung m

Die Steigung m beschreibt, wie (stark) sich der y-Wert verändert, wenn sich der x-Wert um 1 erhöht. Sie gibt also an, wie steil eine Gerade ist und wie sich der Graph von links nach rechts entwickelt.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

• Ist m positiv, dann steigt der Graph und die y-Werte werden größer.
• Ist m negativ, dann sinkt der Graph und die y-Werte werden kleiner.
• Ist m=0, verläuft der Graph konstant (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.

Übernehme den Merkkasten in dein Heft!

Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst

Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen. Sie beschreibt, wie schnell es nach oben oder unten geht, wenn du dich nach vorne bewegst.

• Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung $m=2$.
• Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
• Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.

Die Steigung sagt also:

Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.

So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.

Aufgabe

Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:

Übung

In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.

Die Steigung m bestimmen

Du kannst die Steigung anschaulich im Graphen bestimmen – mit einem sogenannten Steigungsdreieck.

Dazu gehst du so vor:

1. Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus:
   
2. Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes:
   
3. Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt:
   

So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck:

• Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich x verändert.
• Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich y verändert.

Aus den Strecken kannst du die Steigung berechnen: $m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x}$
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an: „Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“

Merkkasten

Mathematisch ausgedrück kannst du folgende Gleichung verwenden: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Dabei sind A( x₁ | y₁ ) und B( x₂ | y₂ ) zwei verschiedene Punkte.

Übernehme den Merkkasten in dein Heft!

Auf diese Weise kannst du m auch mithilfe einer Wertetabelle bestimmen, indem du $y_2, y_1, x_2$ und $x_1$ in die Gleichung einsetzt.

Aufgaben

Aufgabe 1

Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.

Aufgabe 2

Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.

Aufgabe 3

Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!

Du bist dir noch unsicher, wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:

Du bist dir schon sicher, wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:

Aufgabe 4

Bestimme die Steigung mithilfe der Wertetabellen.

Aufgabe für Knobler

Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.

Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit $k = \frac{y}{x}$ (proportionale Zuordnungen) und m mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.

Der Parameter b

In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.

Bewege den Schieberegler b. Was fällt dir auf? Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?

Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn $b = 2$ ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).

Übung

Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:

• Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
• Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
• Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
• Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
• Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
• b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
• Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .

Der y-Achsenabschnitt b

Der Parameter b beschreibt, wo der Graph beginnt, also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist. Er gibt damit an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet und wie der Graph im Koordinatensystem nach oben oder unten verschoben ist. Man nennt ihn deshalb auch den y-Achsenabschnitt.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

• Ist b positiv, dann liegt der Graph bei x=0 oberhalb der x-Achse und ist nach oben verschoben.
• Ist b negativ, dann liegt der Graph bei x=0 unterhalb der x-Achse und ist nach unten verschoben.
• Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den Ursprung (0I0).

Übernehme den Merkkasten in dein Heft!

Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst

Den Parameter b kannst du dir wie den Startpunkt einer Bewegung vorstellen. Er beschreibt, wo etwas beginnt, bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:

• Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
• Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
• Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der Wert, den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also bei x=0).

Aufgabe

Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:

Übung

In den folgenden Aussagen geht es um den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.

Den y-Achsenabschnitt b bestimmen

Du kannst b auf zwei Arten bestimmen, je nachdem, was du angegeben hast:

1. Aus einer Wertetabelle ablesen

Suche in der Tabelle den Wert, bei dem x=0 ist. Der dazugehörige y-Wert ist direkt b.

Beispiel

Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und 2 € pro Kilometer. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:

Wir suchen x=0, der dazugehörige y-Wert ist 4. Hier ist also b=4.

2. Im Graphen ablesen

Schau dir den Graphen im Koordinatensystem an:

1. Suche den Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet.
2. Dieser Punkt hat immer die Form (0 | b).
3. Der y-Wert dieses Punktes ist b.

Beispiel

Für das Taxi-Beispiel sieht der Graph folgendermaßen aus:

Der Schnittpunkt zwischen Graph und y-Achse liegt bei (0

Merkkasten

b ist der y-Wert bei x=0.

Du findest b in der Wertetabelle oder am Schnittpunkt mit der y-Achse im Graphen.

Übernehme den Merkkasten in dein Heft!

Aufgaben

Aufgabe 1

Finde den richtigen y-Achsenabschnitt b zu den Graphen!

Aufgabe 2

Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!

Du bist dir noch unsicher, wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:

Du bist dir schon sicher, wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:

Wie können lineare Funktionen dargestellt werden?

Lineare Funktionen können auf vier verschiedene Arten dargestellt werden. Dabei beschreiben alle denselben Zusammenhang, nur auf unterschiedliche Weise.

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:

Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach in Worten beschrieben werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.

Beispiel

„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:

• Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
• Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).

Solche Texte helfen dir, den Zusammenhang zu verstehen, bevor du ihn mathematisch darstellst. Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch mit einer Gleichung beschreiben.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:

$$y = m \cdot x+b$$

Beispiel

Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:

$$y = 2 \cdot x+4$$

Das bedeutet:

• x steht für die gefahrenen Kilometer
• y steht für den Preis

Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt

Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)

Mit einer solchen Gleichung kannst du genau berechnen, wie sich der Zusammenhang verhält. Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.

Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang in einer Tabelle darzustellen. Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.

Beispiel

Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:

In der Tabelle siehst du:

• Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
• Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)

Die Tabelle hilft dir besonders gut, den Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen und Muster zu erkennen.

Schließlich kann man eine lineare Funktion auch als Graph im Koordinatensystem darstellen. Dazu: 1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein 2. Verbindest die Punkte miteinander Das Ergebnis ist eine Gerade.

Beispiel

Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:

Diese Gerade zeigt:

• Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
• Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)

Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den gesamten Zusammenhang auf einen Blick sehen kannst.

Zusammenhang der Darstellungen

Eine lineare Funktion kann als Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und beschreiben denselben Zusammenhang auf unterschiedliche Weise:

• Der Text erklärt die Situation
• Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
• Die Tabelle zeigt einzelne Werte
• Der Graph macht den Verlauf sichtbar

Wichtig: Du kannst dabei jederzeit zwischen den Darstellungen wechseln!

Gemischte Aufgaben zu lineareren Funktionen

Du hast jetzt kennengelernt, was die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist und welche Bedeutung die Parameter m und b haben. Außerdem hat du gesehen, das lineare Funktionen auf verschiedene Arten dargestellt werden können.

Jetzt geht es darum, dieses Wissen anzuwenden und zu vertiefen. In den folgenden Aufgaben arbeitest du deshalb mit verschiedenen Darstellungen von linearen Funktionen und trainierst, lineare Funktionen sicher zu bestimmen.

Aufgabe 1

Bestimme für jede der folgenden Situationen die Steigung m und den Startwert b. Schließe daraus auf die dazugehörige Funktionsgleichung und fülle die Tabelle passend aus.

Aufgabe 2

Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.

Aufgabe 2

Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.

Aufgabe 3

Ordne den Wertetabellen die passende Funktionsgleichung zu.

Aufgabe 4

Ordne alle zusammengehörigen Darstellungen zu.

Aufgabe 5 - Anwendungsaufgabe

Du bist mit deiner Klasse auf Klassenfahrt in Berlin. Gemeinsam besucht ihr verschiedene Sehenswürdigkeiten in der Stadt. Nach einem langen Tag entscheidet sich deine Gruppe ein Taxi zu nehmen, um schneller vom Brandenburger Tor zur nächsten Sehenswürdigkeit zu kommen. Leider habt ihr insgesamt nur noch 9 € dabei. Ihr fragt euch, für welches Ziel euer Geld noch ausreicht. Dazu möchtest du zunächst herausfinden, wie weit die Strecken sind.

1. Recherchiere dazu im Internet die Entfernung zwischen dem Brandenburger Tor und dem Berliner Dom, sowie zwischen dem Brandenburger Tor und dem Alexanderplatz. Nutze dazu zum Beispiel Google Maps. Notiere dir die Entfernungen in Kilometern.

a) Brandenburger Tor - Berliner Dom: 1,7 km

b) Brandenburger Tor - Alexanderplatz: 2,5 km

2. Informiere dich mithilfe unten bereitgestellten Tabelle über die Taxitarife. Entnimm daraus den Grundpreis und den Preis pro gefahrenem Kilometer und stelle eine passende Funktionsgleichung zur Berechnung der Taxikosten auf.

Grundpreis: 3,90 €

Preis pro Kilometer: 2,30 €

Der Grundpreis entspricht dem Startwert, also $b=3,90$

Der Preis pro Kilometer entspricht der Steigung, also $m=2,30$

Somit ergibt sich mit $y=mx+b$ folgende Funktionsgleichung: $y=2,30x+3,90$

3. Berechne nun die Kosten für beide Fahrten mithilfe deiner Funktionsgleichung und gib deine Ergebnisse an.

Mithilfe der aufgestellten Funktionsgleichung $y=2,30x+3,90$ können wir die Kosten für beide Fahrten berechnen. Dazu setzen wir die die beiden Entfernungen für x ein und berechnen die Gleichung.

Damit ergibt sich:

a) $y=2,30*1,7+3,90=7,81$

b) $y=2,30*2,5+3,90=9,65$

4. Interpretiere aus deinem Ergebnis, für welches Ziel ihr euch entscheiden solltet.

Da ihr zusammen nur 9 € besitzt, reicht euer Geld nur für die kürzere Fahrt.

Ihr solltet euch deshalb für die Fahrt vom Brandenburger Tor zum Berliner Dom entscheiden.

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