Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining - Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Aufgabe 1|2=
{{Box|Aufgabe 1|2=
Letztes Jahr hat Anna bei der Schulsprecherwahl 40% der Stimmen erhalten. Vor der nächsten Wahl interessiert sie sich, ob sie dieses Jahr ihr Stimmenanteil zu letztem Jahr verbessern kann. Dafür führt sie ein Signifikanztest durch. Sie befragt 100 Schüler*innen. Für den Test legt sie ein Signifikanzniveau von 5% fest. <br>
Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartphonehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 6% weniger fehlerhaft sind. In einem  Test mit 100 zufällig entnommenen Smartphones, soll die Nullhypothese " Der Anteil der defekten Smartphones beträgt 6%" auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden.<br>  
[[Datei:Anna.jpg|rechts|300px]]
[[Datei:Handy.jpg|rechts|150px]]
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und formuliere die zugehörige Entscheidungregel. <br>
a) Begründe warum die Gegenhypothese <math>H_1:p<0,06</math> lautet.<br>  
b) Anna bekommt raus, dass 50 Schüler*innen aus der Stichprobe vorhaben sie als Schulsprecherin zu wählen. Beschreibe wie Anna dieses Ergebnis interpretiren kann?<br>
b) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich.<br>
c) Ihr tatsächlicher Stimmenanteil beträgt allerdings nur 32%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese fälchschlicherweise abgelehnt wird. Um welchen Fehler handelt es sich? <br>
c) Beschreibe die zugehörigen Fehlerarten im Sachzusammenhang.
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Nullhypothese fälschlicherweise angenommen, wenn sie tatsächlich 45% wählen. Um welchen Fehler handelt es sich?
   
   
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' 1. Schritt: <math>H_0:p\leq0,4</math> und <math>H_1:p>0,4</math><br> 2. Schritt: <math>n=100 </math> und <math>\alpha=5%</math><br>3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die Anna wählen. X ist im Grenzfall <math>B_{100;0,4}- verteilt</math><br>4. Schritt: <math>P(X\geq kr)\leq0,05\Rightarrow1-P(X\leq kr-1)\leq0,05</math><br><math>P(X\leq kr-1)\geq0,95</math><br>Aus Ablesen der Tabelle kr-1=48 => kr=49<br> Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {49...100}liegt.Der Annahmebereich ist das Intervall zwischen {0,...48}.<br>
'''a) '''Das Ziel eines Signifikanztests ist es die Nullhypothese zu verwerfen und zu zeigen, dass mit einer großen statistischen Sicherheit die Gegenhypothese <math>H_1</math> gilt. In dieser Aufgabe will der Hersteller zeigen, dass nun weniger als 6% der produzierten Smartphones fehlerhaft sind. Also wird diese Aussage als Gegenhypothese <math>H_1</math> gewählt. <br>
'''b)''' Sie kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgehen, dass sich ihr Stimmenanteil zu letzten Jahr verbessern wird.<br>
'''b)'''1. Schritt:<math>H_0:p=0,06</math> und <math>H_1:p<0,06</math><br>2. Schritt: n=100 und <math>\alpha=5%</math><br> 3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist <math>B_{100,0.06}</math>- verteilt.<br> 4. Schritt: <math>P(X\leq kr)\leq0,05</math><br> Durch Ablesen der Tabelle erhält man k=1.<br> Der Verwerfungsbereich ist somit das Intervall von {0,1}.<br> '''c) '''Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich weiterhin 6% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber fälschlicherweise vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones unter 6% liegt. <br>
'''c)''' Es handelt sich um einen Fehler 1 Art. Eine richtige Nullhypothese wird fälschlicherweise verworfen. <br> Berechnung:X ist <math>B_{100;0,32}- verteilt, </math> <math>P(X\geq 49)=1-P(X\leq48)=1-0,9997=0,0003</math> <br> Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,03% wird bei einem wahren Stimmenanteil von 32% die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen.<br>
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 6% der hergestellten Smartphones defekt, der Test erkennt dies aber nicht. Die Nullhypothese <math>H_0</math> wird fälschlicherweise nicht verworfen.  
'''d)''' Es handelt sich um einen Fehler 2. Art. Eine falsche Nullhypothese wird fälschlicherweise angenommen.<br>Berechnung: X ist <math>B_{100;0,45}-verteilt</math>, <math>P(X\leq48)=0,7596</math>.<br> Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75,96% wird die Nullhypothese,bei dem tatsächlichen Stimmenanteil von 45% fälschlicherweise angenommen.  
</div>
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|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|Aufgabe 2|2=
{{Box|Aufgabe 2|2=
Ein Schüler behauptet, dass er mindestens 950 von 1000 Vokablen kann. Sein Lehrer glaubt ihm nicht. Er denkt, dass sein Schüler eindeutig weniger Vokabeln kann. Daher fragt der Lehrer seinen Schüler 40 Vokabeln ab. <br>
Viele Universitäten in Deutschland bieten neu gemeinsame Busfahrten zum King`s Day nach Amsterdam an. Durch einen Signifikanztest soll überprüft werden, ob durch dieses Angebot an dem Tag mehr Menschen aus Deutschland anreisen als sonst. Im letzten Jahr kamen 34% aller Besucher aus Deutschland. Für den Test werden zufällig 100 Menschen beim King`s Day befragt und das Signifikanzniveau <math>\alpha</math> wird auf 5% festgelegt.<br> <br>
a) Warum fragt der Lehrer ihn nicht alle 1000 Vokabeln ab?<br>
[[Datei:Kingsday.jpg|rechts|300px]]
b) Wie viele Vokabeln müsste der Schüler von den 40 Vokabeln mindestens richtig beantworten, damit sein Lehrer nicht das Gegenteil behaupten kann.Führe einen passenden Signifkanztest aus Sicht des Lehrers durch. Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.<br>  
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und gib den Verwerfungsbereich an. <br>
c) Beschreibe worin der Fehler 1. Art und Fehler 2. Art besteht.<br>
b) In der Umfrage kommt raus, dass 45 der Befragten aus Deutschland kommen. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren? <br>
d) Der Schüler weiß tatsächlich nur 90% der Vokabeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lehrer ihm dennoch glaubt?  
 
[[Datei:Vokabeln.jpg|rechts|200px]]
   
   
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' Die Überpürfung der 1000 Vokablen würde zu lange dauern.<br> '''b) '''1. Schritt:<math>H_0: p\geq0,95</math> und <math>H_1:p<0,95</math><br> 2. Schritt: n=40 und <math>\alpha=5%</math><br> 3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Vokabeln, die der Schüler gewusst hat. X ist im Grenzfall <math>B_{40;0,95}- verteilt</math>.<br> 4. Schritt: <math>P(X\leq kr)\leq0,05</math><br> Aus Ablesen der Tabelle erhält man kr=35.<br> Annahmebereich: {36, ...,100} und Verwerfungsbereich: {0,..,35}.<br> '''c)'''Bei dem Fehler 1. Art weiß der Schüler tatsächlich 95% oder mehr der Vokabeln, er kann allerdings im Test nur höchstens 35 Vokabeln richtig beantworten, daher wird die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen.<br> Beim  Fehler 2. Art weiß der Schüler weniger als 95% der Vokabeln, er kann aber im Test mehr als 36 richtig beantworten. Daher wird die Nullhypothese fälschlicherweise angenommen.<br>'''d)'''X ist <math>B_{40;0,9}-verteilt</math> <math>P(X\geq36)=1-P(X\leq35)=1-0,371=0,629</math><br> Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit also 62,9%.
'''a)''' 1. Schritt: <math>H_0:p=0,34</math> und <math>H_1:p>0,34</math><br>2. Schritt: <math>n=100 </math> und <math>\alpha=5%</math><br>3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die aus Deutschland angereist sind. X ist <math>B_{100,0.34}</math> -verteilt<br>4. Schritt: <math>P(X\leq k-1)\geq0,95</math><br>Aus Ablesen der Tabelle erhält man: k-1=42 => k=43<br> Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {43...100}liegt.<br>
'''b)''' Das Ergebnis liegt im Verwerfungsbereich. Somit kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgegangen werden, dass der Anteil der aus Deutschland angereisten Besucher*innen gestiegen ist.<br>
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|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|Aufgabe 3|2=
{{Box|Aufgabe 3|2=
Arthur behauptet, dass wenn er Fremden Menschen zulächelt 50% zurück lächeln. Jonas, ein Freund von Arthur, fragt sich ob das stimmt? Deshalb wollen sie ein Signifikanztest durchführen. Arthur soll 1000 Menschen anlächeln. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5 % fest.<br>  
Ein Präsidentschaftskanditat aus den USA hat in der zwei Monate zurückliegenden Umfrage einen Stimmenanteil von 50% Prozent erzielt. Nun ist er interessiert, ob sein Stimmenanteil sich verändert hat. Er will dies mit einem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen und lässt zufällig 1000 Menschen befragen.Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt. <br> <br>
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und bestimme die Entscheidungsregel<br>
a) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich<br>
b) Von den 1000 Menschen haben 531 zurückgelächelt. Arthur behauptet, dass somit bewiesen ist das seine Aussage wahr ist. Nimm zu dieser Aussage Stellung.
   
   
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' 1. Schritt:<math>H_0:p=0,5</math> und <math>H_1:p\neq0,5</math><br>2. Schritt <math>n=1000 </math> und <math>\alpha=5%</math><br> 3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die zurückgelächelt haben. X ist  <math>B_{1000;0,5}- verteilt</math><br>4. Schritt: 1.) <math>P(X\leq kr)\leq 0,025</math> <br> Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=468.<br> 2.) <math>P(X\leq kr-1)\geq0,975</math><br> Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=532.<br> Annahmebereich: {469,...531}.<br> Verwerfungsbereich: {0,..468}<math>\cup</math>{532,.., 1000}.<br>'''b)''' 531 liegt zwar im Annahmebereich. Aber über Ergebnisse die im Annahmebereich liegen, kann keine Aussage getroffen werden. Arthur kann durch den Test nicht zeigen, dass der Wert 50% gilt.
'''a)''' 1. Schritt:<math>H_0:p=0,5</math> und <math>H_1:p\neq0,5</math><br>2. Schritt <math>n=1000 </math> und <math>\alpha=5%</math><br> 3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die ihn wählen würden. X ist  <math>B_{1000;0,5}- verteilt</math><br>4. Schritt: 1.) <math>P(X\leq k)\leq 0,025</math> <br> Aus Ablesen der Tabelle folgt k=468.<br> 2.) <math>P(X\leq k-1)\geq0,975</math><br> Aus Ablesen der Tabelle folgt k=532.<br> Der Verwerfungsbereich ist die Vereinigung auf folgenden Intervallen: {0,..468}<math>\cup</math>{532,.., 1000}.<br>
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</div>
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|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 9. März 2020, 13:36 Uhr

Super! Jetzt hast du alle wichtigen Inhalte wiederholt und trainiert. Jetzt solltest du in der Lage sein, mögliche Klausuraufgaben zu lösen. Viel Spaß!

Aufgabe 1

Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartphonehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 6% weniger fehlerhaft sind. In einem Test mit 100 zufällig entnommenen Smartphones, soll die Nullhypothese " Der Anteil der defekten Smartphones beträgt 6%" auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden.

Handy.jpg

a) Begründe warum die Gegenhypothese lautet.
b) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich.
c) Beschreibe die zugehörigen Fehlerarten im Sachzusammenhang.

a) Das Ziel eines Signifikanztests ist es die Nullhypothese zu verwerfen und zu zeigen, dass mit einer großen statistischen Sicherheit die Gegenhypothese gilt. In dieser Aufgabe will der Hersteller zeigen, dass nun weniger als 6% der produzierten Smartphones fehlerhaft sind. Also wird diese Aussage als Gegenhypothese gewählt.
b)1. Schritt: und
2. Schritt: n=100 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist - verteilt.
4. Schritt:
Durch Ablesen der Tabelle erhält man k=1.
Der Verwerfungsbereich ist somit das Intervall von {0,1}.
c) Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich weiterhin 6% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber fälschlicherweise vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones unter 6% liegt.
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 6% der hergestellten Smartphones defekt, der Test erkennt dies aber nicht. Die Nullhypothese wird fälschlicherweise nicht verworfen.


Aufgabe 2

Viele Universitäten in Deutschland bieten neu gemeinsame Busfahrten zum King`s Day nach Amsterdam an. Durch einen Signifikanztest soll überprüft werden, ob durch dieses Angebot an dem Tag mehr Menschen aus Deutschland anreisen als sonst. Im letzten Jahr kamen 34% aller Besucher aus Deutschland. Für den Test werden zufällig 100 Menschen beim King`s Day befragt und das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.

Kingsday.jpg

a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und gib den Verwerfungsbereich an.
b) In der Umfrage kommt raus, dass 45 der Befragten aus Deutschland kommen. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren?


a) 1. Schritt: und
2. Schritt: und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die aus Deutschland angereist sind. X ist -verteilt
4. Schritt:
Aus Ablesen der Tabelle erhält man: k-1=42 => k=43
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {43...100}liegt.
b) Das Ergebnis liegt im Verwerfungsbereich. Somit kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgegangen werden, dass der Anteil der aus Deutschland angereisten Besucher*innen gestiegen ist.



Aufgabe 3

Ein Präsidentschaftskanditat aus den USA hat in der zwei Monate zurückliegenden Umfrage einen Stimmenanteil von 50% Prozent erzielt. Nun ist er interessiert, ob sein Stimmenanteil sich verändert hat. Er will dies mit einem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen und lässt zufällig 1000 Menschen befragen.Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.

a) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich


a) 1. Schritt: und
2. Schritt und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die ihn wählen würden. X ist
4. Schritt: 1.)
Aus Ablesen der Tabelle folgt k=468.
2.)
Aus Ablesen der Tabelle folgt k=532.
Der Verwerfungsbereich ist die Vereinigung auf folgenden Intervallen: {0,..468}{532,.., 1000}.