Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining - Signifikanztest

Super! Jetzt hast du alle wichtigen Inhalte wiederholt und trainiert. Jetzt solltest du in der Lage sein, mögliche Klausuraufgaben zu lösen. Viel Spaß!

Aufgabe 1

Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartphonehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 6% weniger fehlerhaft sind. In einem Test mit 100 zufällig entnommenen Smartphones, soll die Nullhypothese " Der Anteil der defekten Smartphones beträgt 6%" auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden.

a) Begründe warum die Gegenhypothese $H_1:p<0,06$ lautet.
b) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich.
c) Beschreibe die zugehörigen Fehlerarten im Sachzusammenhang.

a) Das Ziel eines Signifikanztests ist es die Nullhypothese zu verwerfen und zu zeigen, dass mit einer großen statistischen Sicherheit die Gegenhypothese $H_1$ gilt. In dieser Aufgabe will der Hersteller zeigen, dass nun weniger als 6% der produzierten Smartphones fehlerhaft sind. Also wird diese Aussage als Gegenhypothese $H_1$ gewählt.
b)1. Schritt:$H_0:p=0,06$ und $H_1:p<0,06$
2. Schritt: n=100 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist $B_{100,0.06}$- verteilt.
4. Schritt: $P(X\leq kr)\leq0,05$
Durch Ablesen der Tabelle erhält man k=1.
Der Verwerfungsbereich ist somit das Intervall von {0,1}.
c) Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich weiterhin 6% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber fälschlicherweise vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones unter 6% liegt.
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 6% der hergestellten Smartphones defekt, der Test erkennt dies aber nicht. Die Nullhypothese $H_0$ wird fälschlicherweise nicht verworfen.

Aufgabe 2

Viele Universitäten in Deutschland bieten neu gemeinsame Busfahrten zum King`s Day nach Amsterdam an. Durch einen Signifikanztest soll überprüft werden, ob durch dieses Angebot an dem Tag mehr Menschen aus Deutschland anreisen als sonst. Im letzten Jahr kamen 34% aller Besucher aus Deutschland. Für den Test werden zufällig 100 Menschen beim King`s Day befragt und das Signifikanzniveau $\alpha$ wird auf 5% festgelegt.

a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und gib den Verwerfungsbereich an.
b) In der Umfrage kommt raus, dass 45 der Befragten aus Deutschland kommen. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren?

a) 1. Schritt: $H_0:p=0,34$ und $H_1:p>0,34$
2. Schritt: $n=100$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die aus Deutschland angereist sind. X ist $B_{100,0.34}$ -verteilt
4. Schritt: $P(X\leq k-1)\geq0,95$
Aus Ablesen der Tabelle erhält man: k-1=42 => k=43
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {43...100}liegt.
b) Das Ergebnis liegt im Verwerfungsbereich. Somit kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgegangen werden, dass der Anteil der aus Deutschland angereisten Besucher*innen gestiegen ist.

Aufgabe 3

Ein Präsidentschaftskanditat aus den USA hat in der zwei Monate zurückliegenden Umfrage einen Stimmenanteil von 50% Prozent erzielt. Nun ist er interessiert, ob sein Stimmenanteil sich verändert hat. Er will dies mit einem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen und lässt zufällig 1000 Menschen befragen.Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.

a) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich

a) 1. Schritt:$H_0:p=0,5$ und $H_1:p\neq0,5$
2. Schritt $n=1000$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die ihn wählen würden. X ist $B_{1000;0,5}- verteilt$
4. Schritt: 1.) $P(X\leq k)\leq 0,025$
Aus Ablesen der Tabelle folgt k=468.
2.) $P(X\leq k-1)\geq0,975$
Aus Ablesen der Tabelle folgt k=532.
Der Verwerfungsbereich ist die Vereinigung auf folgenden Intervallen: {0,..468}$\cup${532,.., 1000}.