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Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und pq-Formel: Unterschied zwischen den Versionen

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|1=1. Aufgabe - Linearfaktorform aus Nullstellen erstellen
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|2=[[Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|right|QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf]]
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Multipliziere in der Funktionsgleichung <math>f(x) = (x-1) \cdot (x-5) </math> die Klammern aus und zeige damit, dass es sich um die Funktion  
Gegeben ist die Gleichung der Funktion <math>f</math> in der Form <math>f(x) = (x-1) \cdot (x-5) </math>. Zeige durch Ausmultiplizieren der Klammern und Zusammenfassen des Terms, dass es sich um die Funktion <math>f(x) = x^2 -6x +5</math> aus der 1. Aufgabe des Kapitels [[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]] handelt, die in der Abbildung QF05 Abbildung 1 Arial24 dargestellt ist.
 
# Begründe rechnerisch, dass diese Parabel die x-Achse in den Punkten <math>N_1(1|0) </math> und <math>N_2(5|0) </math> schneidet. Warum ist dafür die gegebene Form der Funktionsgleichung mit den beiden Klammern besonders vorteilhaft?
In der Abbildung "QF05 Abbildung 1" ist die Parabel <math>f(x) = x^2 -6x +5</math> dargestellt. Die Parabel schneidet die x-Achse offensichtlich in den Punkten <math>N_1(1|0) </math> und <math>N_2(5|0) </math>.
 
<math>f(x) = x^2 -6x +5</math>
 
{{Lösung versteckt
|1=
Man kann die Verschiebung in x- und y-Richtung in zwei Einzelschritte "Verschiebung in x-Richtung" und "Verschiebung in y-Richtung" aufspalten, die hintereinander ausgeführt werden, denn die entsprechenden Transformationsgleichungen gelten für ''alle'' Funktionen. Wenn man die Normalparabel also zuerst in x-Richtung verschoben hat, dann kann man auch auf die dadurch erzeugte Funktion die Transformationsgleichung für die Verschiebung in y-Richtung anwenden.
|2=Tipp anzeigen
|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt
{{Lösung versteckt
|1=
|1=
# Der Scheitelpunkt der Parabel <math>f</math> besitzt die Koordinaten <math>S(3|-4)</math>.
# <math>f(x) = (x-1) \cdot (x-5) </math> <math>= x^2 -5x -x + 5 </math> <math>= x^2 -6x + 5 </math>
# Der Scheitelpunkt der Normalparabel <math>O(0|0)</math> wurde um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten zum Scheitelpunkt <math>S(3|-4)</math> von <math>f</math> verschoben. Entsprechend wurden auch alle anderen Punkte der Normalparabel und damit ihr gesamter Graph um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten verschoben.
# Allgemeiner Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse: <math>f(x) = 0</math> setzen, um die x-Koordinaten dieser Punkte zu berechnen. <br /> Im vorliegenden Fall führt der Ansatz zu der Gleichung: <math>(x-1) \cdot (x-5) = 0</math> <br /> An dieser Stelle kann nun die "'''Nullprodukt-Regel'''" angewandt werden, die besagt: "Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist." <br /> Das bedeutet in diesem Fall: Entweder der Inhalt der ersten Klammer ist gleich Null oder der Inhalt der zweiten Klammer: <math>x-1 = 0 </math> oder <math>x-5 = 0</math>. <br />Daraus folgt: <math>x =1 </math> oder <math>x = 5</math>. Es gibt also zwei Lösungen: <math>x_1 =1 </math> und <math>x_2 =5 </math>.
# Die Parabel besitzt die Funktionsgleichung <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math>
|2=Lösung anzeigen
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}} <!-- 1. Aufgabe -->
|3=Üben}} <!-- 1. Aufgabe -->

Version vom 10. Dezember 2025, 07:39 Uhr

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Lernschritt Linearfaktorform und pq-Formel
  • In diesem Lernschritt wird erklärt, was die Linearfaktorform einer quadratischen Funktion ist und wozu sie genutzt werden kann.
  • In diesem Zusammenhang wird auch die Nullprodukt-Regel und der Begriff der Nullstelle einer Funktion wiederholt.
  • Schließlich wird gezeigt, wie man aus der Normalform mithilfe der so genannten pq-Formel bzw. "Mitternachtsformel" die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen und damit ihre Linearfaktorform erstellen kann.

1. Aufgabe - Linearfaktorform aus Nullstellen erstellen
QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf

Gegeben ist die Gleichung der Funktion in der Form . Zeige durch Ausmultiplizieren der Klammern und Zusammenfassen des Terms, dass es sich um die Funktion aus der 1. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform handelt, die in der Abbildung QF05 Abbildung 1 Arial24 dargestellt ist.

  1. Begründe rechnerisch, dass diese Parabel die x-Achse in den Punkten und schneidet. Warum ist dafür die gegebene Form der Funktionsgleichung mit den beiden Klammern besonders vorteilhaft?
  2. Allgemeiner Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse: setzen, um die x-Koordinaten dieser Punkte zu berechnen.
    Im vorliegenden Fall führt der Ansatz zu der Gleichung:
    An dieser Stelle kann nun die "Nullprodukt-Regel" angewandt werden, die besagt: "Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist."
    Das bedeutet in diesem Fall: Entweder der Inhalt der ersten Klammer ist gleich Null oder der Inhalt der zweiten Klammer: oder .
    Daraus folgt: oder . Es gibt also zwei Lösungen: und .
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