Potenzfunktionen - 2. Stufe

Potenzfunktionen

• Einführung
  
• Potenzfunktionen mit positivem ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit Stammbrüchen im Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen Stammbrüchen im Exponenten
• Test

Mathematik-digital.de

Die Graphen der Funktionen f(x) = x^-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x^-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1

1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
   • Symmetrie
   • Monotonie
   • größte und kleinste Funktionswerte
2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
   

   HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 

3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x^-2 zu f(x) = x^-4, dann die beim Übergang von f(x) = x^-4 zu f(x) = x^-6 usw.!
4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x^-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?

zu 1.)

• Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
• Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall $]-\infty;0[$ streng monoton steigend und im Intervall $]0;\infty[$ streng monoton fallend.
• Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind $]0; \infty[$. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.

zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).

Begründung für den Punkt (-1;1): An der Stelle x$=$-1 ist $f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.$ Da wir hier nur gerade Zahlen $n \in \{2,4,6,...\}$ betrachten gilt weiter: $\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1$ unabhängig von n.

Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x$=$1 ist $f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1$ für alle $n \in {\Bbb N}.$

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.

Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.)

Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-$\textstyle \frac{1}{k^n}$-facht.

Symbolisch: $f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)$.

Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xⁿ und f(x)=x^-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Merke

• Die Graphen von Funktionen f(x)=xⁿ und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
  
• Für f(x)=x² heißt der Graph Normalparabel; für f(x)=x³ dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
• Die Graphen von Funktionen f(x)=x^-n und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x^-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2

1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
   • Symmetrie
   • Monotonie
   • größte und kleinste Funktionswerte
2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
   

   HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen

3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x^-1 zu f(x) = x^-3, dann die beim Übergang von f(x) = x^-3 zu f(x) = x^-5 usw.!

zu 1.)

• Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).

Beachte: für n$=$1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y$=$x.

• Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich $\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}$ streng monoton fallend.
• Als Funktionswerte werden alle Werte aus $\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}$. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.

zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).

Begründung für Punkt (-1;-1): An der Stelle x$=$-1 ist $f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n$. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist $\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1$ für alle betrachteten n.

Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x$=$1 ist $f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1$ für alle $n \in {\Bbb N}.$

zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.

In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.

In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.

Teste dein Wissen

Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x^-n, n eine natürliche Zahl

1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt $P(2;\textstyle \frac{1}{16})$?
2. Für welches n verläuft der Graph durch $Q ( 0,\!5;8 )$?

zu 1.) Die Lösung ist n$=$4.

Begründung: Es gilt $f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.$

zu 2.) Die Lösung ist n$=$3.

Begründung: Es gilt $f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8$

Die Graphen von f(x) = a x^-n mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form $f(x) = a \cdot x^{-n}$, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

Aufgabe 4

1. Es sei zunächst n = 2, also $f(x) = a \cdot x^{-2}$. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
2. Beschreibe die Veränderung der Graphen von $f(x) = a \cdot x^{-n}$ bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

zu 1.)

• Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
• Für a$=$1 bleibt er unverändert
• Für a$=$0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x)$=$0 für alle x.
• Der Wert a$=$-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.

zu 2.)

Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.

Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen $f(x) = a \cdot x^{-n}$ für eine eine natürliche Zahl n.

1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft.
   Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.

zu 1.) Die Lösung ist a$=$2, n$=$1.

Begründung: $f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2$ und $f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.$

zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.

Begründung:

• Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
• Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a$=$1 sein.

Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)$=$ x^-n mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x$=$1 den Funktionswert f(x)$=$1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x$=$1 den Funktionswert f(x)$=$3 hat.

Teste Dein Wissen

• Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!
• Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!

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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.

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