Potenzfunktionen - 2. Stufe

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Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...


Aufgabe 1
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
GeoGebra
zu 1.)
  • Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall streng monoton steigend und im Intervall streng monoton fallend.
  • Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind . Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.

zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
Begründung für den Punkt (-1;1): An der Stelle x-1 ist Da wir hier nur gerade Zahlen betrachten gilt weiter: unabhängig von n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x1 ist für alle

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.)
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver--facht.
Symbolisch: .

Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:


Merke
  • Die Graphen von Funktionen f(x)=xn und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
  • Für f(x)=x2 heißt der Graph Normalparabel; für f(x)=x3 dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
  • Die Graphen von Funktionen f(x)=x-n und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..


Aufgabe 2
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!
GeoGebra

zu 1.)

  • Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
Beachte: für n1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: yx.
  • Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich streng monoton fallend.
  • Als Funktionswerte werden alle Werte aus . Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.


zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).

Begründung für Punkt (-1;-1): An der Stelle x-1 ist . Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist für alle betrachteten n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x1 ist für alle

zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.

In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.


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Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt ?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch ?

zu 1.) Die Lösung ist n4.

Begründung: Es gilt

zu 2.) Die Lösung ist n3.

Begründung: Es gilt

Die Graphen von f(x) = a x-n mit a IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n IN, a IR .


Aufgabe 4
  1. Es sei zunächst n = 2, also . Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen von bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
GeoGebra
zu 1.)
  • Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
  • Für a1 bleibt er unverändert
  • Für a0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x)0 für alle x.
  • Der Wert a-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
zu 2.)
Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.



Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen für eine eine natürliche Zahl n.

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft.
    Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
GeoGebra
zu 1.) Die Lösung ist a2, n1.
Begründung: und
zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
Begründung:
  • Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
  • Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a1 sein.
Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x) x-n mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x1 den Funktionswert f(x)1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x1 den Funktionswert f(x)3 hat.


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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.