Quadratische Funktionen erforschen/Von der Scheitelpunkt- zur Normalform

Quadratische Funktionen erforschen

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In diesem Kapitel kannst du herausfinden, wie du quadratische Funktionen in Scheitelpunktform in quadratische Funktionen in Normalform umwandeln kannst.

Beispiel

Für den Basketballwurf konnten näherungsweise diese beiden Funktionsterme gefunden werden:

Die Funktionsterme müssen irgendwie ineinander überführbar sein, da sie die gleiche Parabel beschreiben.

Durch Ausmultiplikation der Scheitelpunktform erhalten wir:

Funktionsterm	Schritt-für-Schritt-Anleitung
$f(x)=-0,32(x-6,5)^2+6,45$	Klammer auflösen
$=-0,32((x-6,5)\cdot(x-6,5))+6,45$	innere Klammer ausmultiplizieren
$=-0,32(x^2-13x+42,25)+6,45$	Klammer ausmultiplizieren
$=-0,32x^2+4,16x-13,52+6,45$	Zusammenfassen
$=-0,32x^2+4,16x-7,07$

Ein Blick auf das zweite Bild oben zeigt, dass das Ergebnis der Ausmultiplikation genau der Term in Normalform ist. |}

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 15) .

a) Lies dir das Beispiel oben durch und versuche es nachzuvollziehen.

b) Nimm deine Lösung zu der 1. Aufgabe bei der Scheitelpunktform in deinen Hefter (S. 9) und wähle zwei deiner Terme aus. Multipliziere diese Funktionsterme wie im Beispiel aus und notiere deine Rechnung.

c) Vergleiche die Ergebnisse deiner Ausmultiplikation mit deinen Termen für die 4. Aufgabe bei der Normalform (S.14).

Es kann sein, dass dein Ergebnis etwas von deinem eigenem Normalformterm abweicht. Das liegt dann daran, dass du die Parabel bei der Aufgabe auf der Normalformseite nicht genau gleich in das Bild gelegt hast wie auf der Scheitelpunktseite. Du solltest dich jedoch in dem angegebenen Spielraumbereich der Lösungsvorschläge befinden.

Funktionsterm Angry Birds	Schritt-für-Schritt-Anleitung	Funktionsterm Golden Gate Bridge	Schritt-für-Schritt-Anleitung
$f(x)=-0,13(x-7)^2+4,85$	Klammer auflösen	$f(x)=0,04(x-5,7)^2+1$	Klammer auflösen
$=-0,13((x-7)\cdot(x-7))+4,85$	innere Klammer ausmultiplizieren	$=0,04((x-5,7)\cdot(x-5,7))+1$	innere Klammer ausmultiplizieren
$=-0,13(x^2-14x+49)+4,85$	Klammer ausmultiplizieren	$=0,04(x^2-11,4x+32,49)+1$	Klammer ausmultiplizieren
$=-0,13x^2+1,82x-6,37+4,85$	Zusammenfassen	$=0,04x^2-0,456x+1,3+1$	Zusammenfassen
$=-0,13x^2+1,82x-1,52$		$=0,04x^2-0,456x+2,3$

Funktionsterm Springbrunnen	Schritt-für-Schritt-Anleitung	Funktionsterm Elbphilharmonie (links)	Schritt-für-Schritt-Anleitung
$f(x)=-0,33(x-4,85)^2+5,3$	Klammer auflösen	$f(x)=0,4(x-2,5)^2+4,35$	Klammer auflösen
$=-0,33((x-4,85)\cdot(x-4,85))+5,3$	innere Klammer ausmultiplizieren	$=0,4((x-2,5)\cdot(x-2,5))+4,35$	innere Klammer ausmultiplizieren
$=-0,33(x^2-9,7x+23,52)+5,3$	Klammer ausmultiplizieren	$=0,4(x^2-5x+6,25)+4,35$	Klammer ausmultiplizieren
$=-0,33x^2+3,2x-6,37-7,76$	Zusammenfassen	$=0,4x^2-2x+2,5+4,35$	Zusammenfassen
$=-0,33x^2+3,2x-2,46$		$=0,4x^2-2x+6,85$

Funktionsterm Elbphilharmonie (mitte)	Schritt-für-Schritt-Anleitung	Funktionsterm Elbphilharmonie (rechts)	Schritt-für-Schritt-Anleitung
$f(x)=0,33(x-5,85)^2+3,4$	Klammer auflösen	$f(x)=0,22(x-9,4)^2+3,6$	Klammer auflösen
$=0,33((x-5,85)\cdot(x-5,85))+3,4$	innere Klammer ausmultiplizieren	$=0,22((x-9,4)\cdot(x-9,4))+3,6$	innere Klammer ausmultiplizieren
$=0,33(x^2-11,7x+34,22)+3,4$	Klammer ausmultiplizieren	$=0,22(x^2-18,8x+88,36)+3,6$	Klammer ausmultiplizieren
$=0,33x^2-3,86x+11,29+3,4$	Zusammenfassen	$=0,22x^2-4,14x+19,44+3,6$	Zusammenfassen
$=0,33x^2+3,86x+14,69$		$=0,22x^2-4,14x+23,04$

Funktionsterm Gebirge	Schritt-für-Schritt-Anleitung	Funktionsterm Motorrad	Schritt-für-Schritt-Anleitung
$f(x)=-0,2(x-5,4)^2+2,3$	Klammer auflösen	$f(x)=-0,07(x-7,7)^2+5,95$	Klammer auflösen
$=-0,2((x-5,4)\cdot(x-5,4))+2,3$	innere Klammer ausmultiplizieren	$=-0,07((x-7,7)\cdot(x-7,7))+5,95$	innere Klammer ausmultiplizieren
$=-0,2(x^2-10,8x+29,16)+2,3$	Klammer ausmultiplizieren	$=-0,07(x^2-15,4x+59,29)+5,95$	Klammer ausmultiplizieren
$=-0,2x^2+2,16x-5,83+2,3$	Zusammenfassen	$=-0,07x^2+1,08x-4,15+5,95$	Zusammenfassen
$=-0,2x^2+2,16x-3,53$		$=-0,07x^2+1,08x+1,79$

Das folgende Applet kannst du nutzen, um deine Ergebnisse aus Aufgabe 1 zu kontrollieren. Außerdem kannst du mit den Parametern beider Darstellungsformen experimentieren und zum Beispiel untersuchen, wie du die Parameterwerte verändern musst, um beide Graphen an einer beliebigen Stelle im Koordinatensystem übereinander zu legen.

Erklärvideo

Daniel Jung hat auf Youtube in seinem Channel Mathe by Daniel Jung zu den verschiedensten Themen Erklärvideos erstellt.

Falls dir die Umformung von der Scheitelpunkt- auf die Normalform schwer fiel, kannst du dir hier ein Video dazu anschauen und es dann noch einmal probieren. Denke daran dir Kopfhörer anzuziehen, sofern du nicht alleine in einem Raum bist.

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YouTube

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Achtung: Parameter $c$ und Parameter $e$ im Vergleich

Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 15-16) .

a) Lies dir die Unterhaltung von Fabian, Merle und Lucio durch.

b) Denke dir zwei Funktionsterme quadratischer Funktionen aus für die gilt: (1) $c=e$ bzw. (2) $c \neq e$. Gib jeweils die Werte für $c$ und $e$ an.

c) Zeichne die Parabeln zu deinen Funktionstermen aus b) in ein Koordinatensystem.

Dein Ergebnis kann zum Beispiel so aussehen:

Bei der Funktion $f(x)=x^2-5$ sind $c=e=-5$.

Bei $g(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4$ ist $c=4$ und $e=0$.

Nutze das GeoGebra-Applet um deine eigene Lösung zu kontrollieren:

Merksätze

Aufgabe 3

Lies dir die folgenden Merksätze aufmerksam durch.

Merke

Quadratische Funktionen können auf verschiedene Weisen in Termen dargestellt werden. Die beiden Formen, die du bisher kennengelernt hast, heißen

• Scheitelpunktform und
• Normalform.

Eine Parabel kann immer in beiden Darstellungsformen beschrieben werden.

Merke

Durch Ausmultiplikation des Terms einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform erhält man den zugehörigen Term in Normalform.

Merke

Für den Parameter c gilt:

Übungen

Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)