Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und pq-Formel

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Lernschritt Linearfaktorform und pq-Formel

• In diesem Lernschritt wird erklärt, was man unter der Linearfaktorform einer quadratischen Funktion versteht und wozu diese genutzt werden kann.
• In diesem Zusammenhang wird auch die Nullprodukt-Regel und der Begriff der Nullstelle einer Funktion wiederholt.
• Schließlich wird gezeigt, wie man aus der Normalform mithilfe der so genannten pq-Formel oder mit der abc-Formel ("Mitternachtsformel") die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen und damit ihre Linearfaktorform erstellen kann.

Linearfaktorform

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf

Neben der Scheitelpunktform und der Normalform gibt es noch eine weitere Darstellungsform für quadratische Funktionen, nämlich die Linearfaktorform. Ein Beispiel hierfür ist die Funktionsgleichung

$f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$

Der Funktionsterm ist das Produkt zweier Klammern, die beide einen linearen x-Ausdruck enthalten. Das bedeutet: Für sich genommen ist jeder einzelne Klammerausdruck der Funktionsterm einer linearen Funktion, in dem die Variable $x$ nur einfach, also nicht zum Quadrat oder in einer noch höheren Potenz vorkommt. Da die beiden Klammern innerhalb des Produkts also "lineare Faktoren" sind, heißt der gesamte Funktionsterm "Linearfaktorform".

Wenn man in der Beispielfunktion $f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$ die beiden Klammern ausmultipliziert, stellt man fest, dass es sich dabei um die Funktion $f(x) = x^2 -6x +5$ aus der 1. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform handelt, die in der Abbildung QF05 Abbildung 1 Arial24 dargestellt ist:

$f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$ $= x^2 -5x -x + 5$ $= x^2 -6x + 5$

Die Abbildung 1 legt nahe, dass diese Parabel die x-Achse in den beiden Punkten $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ schneidet. Dies lässt sich rechnerisch leicht bestätigten, indem man die x-Koordinaten dieser Punkte in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt. Dafür eignet sich die Linearfaktorform besonders gut, denn durch Einsetzen des x-Wertes $x_1 = 1$ erhält man

$f(1) = (1-1) \cdot (1-5) = 0 \cdot (-4) = 0$

Die erste Klammer wird offensichtlich Null und das reicht aus, damit auch das gesamte Produkt Null wird. Entsprechend wird durch Einsetzen des x-Wertes $x_2 = 5$ die zweite Klammer - und damit das gesamte Produkt - zu Null:

$f(5) = (5-1) \cdot (5-5) = 4 \cdot 0 = 0$

Hier kommt die so genannte "Nullprodukt-Regel" zum Tragen:

Nullprodukt-Regel

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist.

In der Linearfaktorform einer Funktion kann man direkt ablesen, an welchen Stellen ihr Graph die x-Achse schneidet: Es sind diejenigen x-Werte, deren Einsetzung in die Funktionsgleichung dafür sorgen, dass mindestens eine der Klammern - und damit der gesamte Funktionsterm - gleich Null wird. Diese speziellen x-Werte bezeichnet man auch als "Nullstellen" der Funktion. Sie sind die Lösungen der quadratischen Gleichung

$(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0$.

Definitionen Nullstelle

Eine Zahl $x_N$ heißt Nullstelle einer Funktion $f$, wenn gilt $f(x_N) = 0$.

1. Aufgabe - Linearfaktorform aus vorgegebenen Nullstellen erstellen

Man kann die Linearfaktorform auch nutzen, um zu zwei vorgegebenen x-Werten eine quadratische Funktion zu finden, deren Graph die x-Achse genau an diesen beiden Stellen schneidet.

1. Bestimme die Linearfaktorform und die Normalform einer quadratischen Funktion $f$, deren Graph die x-Achse in den Punkten $N_1(-2|0)$ und $N_2(4|0)$ schneidet.
2. Begründe, dass es eine ganze Schar von Funktionen gibt, die alle genau diese beiden x-Achsenschnittpunkte besitzen. Gib die Funktionsgleichung dieser Schar an und beschreibe, worin sich die einzelnen Parabeln der Schar unterscheiden.
3. Ermittle die Normalform einer Parabel $g$, die die x-Achse in den Punkten $N_1(-2|0)$ und $N_1(4|0)$ und die y-Achse im Punkt $S_g(0|4)$ schneidet.

1. $f(x) = (x+2) \cdot (x-4)$ $= x^2 -4x +2x - 8$ $= x^2 -2x - 8$
2. Alle Funktionen der Schar $f_a(x) = a \cdot (x+2) \cdot (x-4)$ mit $a \not= 0$ besitzen die Nullstellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 4$. Um die Nullstellen zu berechnen, setzt man
   $a \cdot (x+2) \cdot (x-4) = 0$
   Wegen $a \not= 0$ kann man auf beiden Seiten durch $a$ dividieren und erhält die Gleichung
   $(x+2) \cdot (x-4) = 0$ mit den Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2 = 4$.
   Alle Parabeln der Schar $f_a$ schneiden die x-Achse in den beiden Punkten $N_1(-2|0)$ und $N_1(4|0)$. Wenn man den Parameter a verändert, wandert der Scheitelpunkt der Parabel auf einer Parallelen zur y-Achse auf- und abwärts, die durch den Punkt $(1|0)$ geht. Gleichzeitig wird die Parabel immer flacher, je mehr sich der Betrag von $a$ sich dem Wert 0 nähert.
3. $f_a(x) = a \cdot (x^2 -2x - 8)$ $= ax^2 -2ax - 8a$
   Wenn man $-8a = 4$ setzt, erhält man $a= -\frac{1}{2}$. Für $a= -\frac{1}{2}$ hat das absolute Glied in der Funktionsgleichung - und damit der y-Achsenabschnitt der Parabel $f_a$ - den Wert $(-8) \cdot (-\frac{1}{2}) = 4$. Die gesuchte Funktion $g$ hat die Gleichung $g(x) = f_{-0,5}(x) =-\frac{1}{2} x^2 +x +4$.

Allgemeine Linearfaktorform

Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion $f$ die Form

$\boldsymbol{ f(x) =a\;(x-x_1)\; (x - x_2) }$   mit   $a \not= 0$

besitzt, dann befindet sie sich in der allgemeinen Linearfaktorform. In dieser kann man die x-Koordinaten $x_1$ und $x_2$ der Schnittpunkte mit der x-Achse $N(x_1|0)$ und $N(x_2|0)$ direkt ablesen. Die x-Koordinaten $x_1$ und $x_2$ bezeichnet man als ihre Nullstellen.

Beachte: In der allgemeinen Funktionsgleichung der Linearfaktorform stehen die Nullstellen in den Klammern hinter einem Minuszeichen. Ein konkreter Ausdruck wie $(x+2)\;(x-4)$ muss also umgeformt werden zu $(x-(-2)\;(x-4)$, wenn man erreichen möchte, dass die Nullstellen $x_1 = -2$ und $x_2 = +4$ beide hinter einem Minuszeichen erscheinen.

In der Linearfaktorform kann man die Nullstellen einer quadratischen Funktion einfach ablesen. Es stellt sich die Frage, wie man die Nullstellen berechnen kann, wenn die Funktion in der Scheitelpunktform gegeben ist. Dies wird im Folgenden am Beispiel zweier bekannter Funtionen gezeigt.

1. Beispiel - Linearfaktorform aus Scheitelpunktform erstellen

Gegeben ist die Scheitelpunktform $f(x) = (x - 3)^2 -4$ einer Funktion $f$.
Gesucht sind die die Nullstellen von $f$ - und damit ihre Linearfaktorform.

Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, die 3. binomische Formel anzuwenden:

$a^2 - b^2 = (a +b) \cdot (a - b)$

In der Scheitelpunktform entspricht der Ausdruck $(x - 3)^2$ dem $a^2$ in der binomischen Formel, der Klammerinhalt $x - 3$ demnach dem $a$. Der subtrahierte Wert 4 entspricht dann dem $b^2$ in der Formel, der Wert 2 also dem $b$.

$f(x) = (x - 3)^2 -4$    | den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen
    $= (x - 3)^2 -2^2$    | 3. binomische Formel anwenden
    $= (x - 3\; + 2)\cdot (x-3\; -2)$    | in den Klammern zusammenfassen
    $= (x - 1)\cdot (x - 5)$

2. Beispiel - Linearfaktorform aus allgemeiner Scheitelpunktform erstellen

Wenn die Funktionsgleichung von $f$ in der allgemeinen Scheitelpunktform mit einem Streckfaktor $a \not= 1$ gegeben ist, muss man diesen erst wieder ausklammern, bevor man die 3. binomische Formel anwendet. Auch im folgenden Beispiel wird mit der Funktion $f$ aus der 4. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform auf eine bereits bekannte Funktion zurückgegriffen.

Gegeben ist die Scheitelpunktform $f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1$ einer Funktion $f$.
Gesucht ist die Linearfaktorform von $f$.

$f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1$     | den Koeffizienten $\frac {1}{4}$ aus dem gesamten Term ausklammern
    $=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 4 \right)$     | den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen
    $=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 2^2 \right)$    | 3. binomische Formel anwenden
    $=\frac {1}{4} \; (x-4 +2) \; (x-4-2)$     | in den Klammern zusammenfassen
    $=\frac {1}{4} \; (x-2) \; (x-6)$

2. Aufgabe - Berechnung der Nullstellen aus gegebener Scheitelpunktform üben

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen. Es handelt sich dabei um die bekannten Funktionen aus der 3. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform. Die Lösungen können entsprechend auch mit dem dazu gehörenden GeoGebra-Applet graphisch überprüft werden.

1. $f(x) = (x - 1)^2 -9$
2. $g(x) = (x - 2)^2 -1$
3. $h(x) = (x + 1,5)^2 -6,25$

1. $f(x) = (x - 1)^2 -9$ $= (x - 1)^2 -3^2$ $= (x-1 +3)\;(x-1-3)$ $= (x +2)\;(x-4)$   
   Nullstellen: $x_1 = -2$ und $x_2=4$
2. $g(x) = (x - 2)^2 -1$ $= (x - 2)^2 -1^2$ $= (x-2 +1)\;(x-2-1)$ $= (x -1)\;(x-3)$   
   Nullstellen: $x_1 = 1$ und $x_2=3$
3. $h(x) = (x + 1,5)^2 -6,25$ $= (x +1,5)^2 -2,5^2$ $= (x+1,5+2,5)\;(x+1,5-2,5)$ $= (x +4)\;(x-1)$   
   Nullstellen: $x_1 = -4$ und $x_2= 1$

Mit den folgenden GeoGebra-Applets kannst du überprüfen, ob die Scheitelpunktform und die Linearfaktorform einer quadratischen Funktion zu der gleichen Parabel gehören. Die Parameter sind hier erst mal so eingestellt, dass die bekannte Funktion aus dem 2. Beispiel $f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1$ $= \frac{1}{4} \cdot (x - 2)\;(x -6)$ dargestellt wird. Über die Schieberegler können die Parameter mit der Maus verändert werden. Mit kurzen Klicks oder den Pfeiltasten können die Werte in kleinen Schritten exakt eingestellt werden. In der Scheitelpunktform kann man auch den Scheitelpunkt mit der Maus verschieben, in der Linearfaktorform die x-Achsenschnittpunkte auf der x-Achse.

Scheitelpunktform  $\boldsymbol{f(x) =a \cdot (x -d)^2 +e}$

Linearfaktorform  $\boldsymbol{f(x) =a \cdot (x -x_1)\;(x -x_2)}$

3. Aufgabe - Berechnung der Nullstellen aus gegebener Scheitelpunktform üben

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen. Die Lösungen können auch mit den obigen GeoGebra-Applets überprüft werden.

1. $f(x)= 0,4 \; (x + 1)^2 -6,4$
2. $g(x) = -\;(x - 2)^2 +1$
3. $h(x) = -0,6\;(x + 1,5)^2 +3,75$

1. $f(x)= 0,4 (x +1)^2 -6,4$
       $= 0,4 \;\left( (x+1)^2 - 16 \right)$
       $= 0,4 \;(x +1 +4)\;(x +1 -4)$
      $= 0,4 \;( x + 5)\;(x - 3)$   
   Nullstellen: $x_1 = -5$ und $x_2=3$
2. $g(x) = -(x - 2)^2 +1$
       $= -\;\left( (x - 2)^2 -1 \right)$
       $= - (x - 2 +1)\;(x -2 -1)$
       $= - (x - 1)\;(x - 3)$   
   Nullstellen: $x_1 = 1$ und $x_2=3$
3. $h(x) = -0,6(x + 1,5)^2 +3,75$
       $= -0,6 \;\left( (x + 1,5)^2 -6,25 \right)$
       $= -0,6 \; (x + 1,5 +2,5) \; (x +1,5 -2,5)$
       $= -0,6 \; (x + 4) \; (x -1)$   
   Nullstellen: $x_1 = -4$ und $x_2=1$

Quadratische Gleichungen lösen

Bei verschiedenen mathematischen Fragestellungen kommt es immer wieder mal vor, dass eine quadratische Gleichung der Form $ax^2 +bx +c = 0$ mit $a \not= 0$ zu lösen ist. Das ist zwar mit dem oben beschriebenen Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion möglich, indem man deren Normalform zuerst mithilfe einer quadratischen Ergängzung in die Scheitelpunktform und diese anschließend mit der 3. binomischen Formel in die Linearfaktorform überführt. Aber dieses Verfahren ist ziemlich aufwendig und langwierig. Eine schnellere Methode besteht darin, entweder die so genannte pq-Formel oder die abc-Formel (auch bekannt als "Mitternachtsformel") anzuwenden.

Wir zeigen hier zuerst an zwei Beispielen, wie man die pq-Formel benutzt, die etwas einfacher ist als die abc-Formel, aber genau so viel leistet. Anschließend wird der Vollständigkeit halber auch die abc-Formel vorgestellt. Beiden Formeln liegt die Idee zu Grunde, dass man (irgendwann mal) vorab einmalig den Weg über die quadratische Ergänzung und die 3. binomische Formel durchlaufen hat - und zwar ganz allgemein mit den Koeffizienten der quadratischen Gleichung als Variablen. Dadurch erhält man die Lösungen $x_1$ und $x_2$ als Ausdrücke, die auch wieder diese Koeffizienten enthalten. Das sind die Formeln. Um sie anzuwenden, muss man dann nur noch in ihnen für die Koeffizienten die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung einsetzen.

pq-Formel

Die quadratische Gleichung $x^2 +px +q = 0$ besitzt genau die zwei Lösungen

$x_1 = -\frac{1}{2}p + \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$ und $x_2 = -\frac{1}{2}\;p - \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$

, wenn der Ausdruck unter der Wurzel (die so genannte "Diskriminante") $D = \frac{1}{4}\;p^2 -q > 0$ ist. In einer abgekürzten Schreibweise fasst man die beiden Formeln für $x_1$ und $x_2$ auch so zu einer Formel zusammen:

$x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$

Wenn $D = 0$ ist, gibt es genau eine Lösung $x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}\;p$.

Wenn $D < 0$ ist, besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung.

1. Beispiel - Anwendung der pq-Formel

Löse die quadratische Gleichung $x^2 -6x +5 = 0$ mithilfe der pq-Formel (siehe 1. Beispiel oben)

$x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$

1. Schritt: p und q identifzieren: $p = -6$ und $q = 5$
2. Schritt: $-\frac{1}{2}\;p = -\frac{1}{2} \cdot (-6) = \boldsymbol{3}$
3. Schritt: Der vordere Ausdruck innerhalb der Wurzel lautet $\frac{1}{4}\;p^2$. Das ist aber nichts anderes als das Quadrat des Terms $-\frac{1}{2}\;p$, den wir im 2. Schritt schon berechnet haben - im vorliegenden Beispiel mit dem Ergebnis 3. Wir müssen also lediglich dieses Zwischenergebnis zu $3^2 =9$ quadrieren und davon $q=5$ subtrahieren, um die gesamte Diskriminante D (den Ausdruck unter der Wurzel) zu berechnen:
   $D = \frac{1}{4}p^2 -q = 9 - 5 = 4$
4. Schritt: Die Wurzel aus D ziehen: $\sqrt{D} = \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$ $= \sqrt{4} = \boldsymbol{2}$
5. Schritt: Die Ergebnisse aus dem 2. und dem 4. Schritt einmal addieren und einmal subtrahieren, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu erhalten: $x_1 = 3 +2 = 5$ und $x_1 = 3 -2 = 1$.

2. Beispiel - Anwendung der pq-Formel

Löse die quadratische Gleichung $\frac{2}{5}\;x^2 +\frac{4}{5}\;x -6 = 0$ mithilfe der pq-Formel (siehe Aufgabe 3.3 oben)

Vorbereitender Schritt: Da in diesem Beispiel der Koeffizient $a = \frac{2}{5} \not= 1$ ist, dividieren wir als erstes die gegebene Gleichung durch diesen Koeffizienten, indem wir mit dem Kehrwert $\frac{5}{2}$ multiplizieren, und erhalten so die Gleichung:

$x^2 +2\;x -15 = 0$

Anwendung der pq-Formel:

$x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$

1. Schritt: p und q identifzieren: $p = 2$ und $q = -15$
2. Schritt: $-\frac{1}{2}\;p = -\frac{1}{2} \cdot 2 = \boldsymbol{-1}$
3. Schritt: Dieses Zwischenergebnis zu $(-1)^2 =1$ quadrieren und davon $q=-15$ subtrahieren, um D zu berechnen. Dabei ist zu beachten, dass hier mit $q = -15$ eine negative Zahl subtrahiert werden muss, was zur Addition von 15 führt: $D = 1-(-15) = 1 + 15 = 16$
4. Schritt: Die Wurzel aus D ziehen: $\sqrt{D} = \sqrt{16} = \boldsymbol{4}$
5. Schritt: Die Ergebnisse aus dem 2. und dem 4. Schritt einmal addieren und einmal subtrahieren, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu erhalten: $x_1 = -1 +4 = 3$ und $x_1 = -1 -4 = -5$.

4. Aufgabe

Man muss die pq-Formeln nicht unbedingt erst selber herleiten, bevor man sie anwenden kann. Schließlich steht sie ja in jeder Formelsammlung. Aber vielleicht reizt des dich ja, diese Herleitung auch selbstständig hinzubekommen?

Ausgangspunkt ist die Normalform der quadratischen Funktion $f(x) = x^2 +p\;x +q$. Diese kann durch eine quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt werden. Der Koeffizient $+p = -(-p)$ entspricht dabei dem Ausdruck $-2\;b$ in der 2. binomischen Formel. $-2\;b = -(-p) \Leftrightarrow b = -\frac{1}{2}\;p$. Mit der 3. binomischen Formel wird anschließend die Scheitelpunktform in die Linearfaktorform überführt, aus der die Nullstellen abgelesen werden können.

Gegeben ist die quadratische Funktion in der Normalform

$f(x) = x^2 +px +q$.

Um ihre Nullstellen zu bestimmen, wird diese Normalform zunächst mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt:

$f(x) = x^2 -(-p)\;x + \left( -\frac{1}{2}\;p \right)^2 - \left( -\frac{1}{2}\;p \right)^2 +q$

$f(x) = \left( x - (-\frac{1}{2}\;p) \right)^2 - \frac{1}{4}\;p^2 +q$

$f(x) = \left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2 - \left( \frac{1}{4}\;p^2 -q \right)$

Um nun die 3. binomische Formel anwenden zu können, wird die hintere Klammer zu einem Quadrat umgeformt:

$f(x) = \left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2 - \left( \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right)^2$

Anwendung der 3. binomischen Formel mit $a^2 = \left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2$ und $b^2 = \left( \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right)^2$

$f(x) = \left( x + \frac{1}{2}\;p + \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right) \cdot \left( x + \frac{1}{2}\;p - \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right)$

Setzt man diese Linearfaktorform von $f$ gleich Null, so erhält man die Nullstellen:

$x_1 = -\frac{1}{2}\;p + \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q}$ und

$x_2 = -\frac{1}{2}\;p - \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q}$.

Die folgende abc-Formel leistet im Prinzip das Gleiche wie die pq-Formel und kann auch auf diese zurückgeführt werden.

abc-Formel ("Mitternachtsformel")

Die quadratische Gleichung $a\;x^2 +b\;x +c = 0$ mit $a \not= 0$ besitzt genau die zwei Lösungen

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$

, wenn der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante) $D = b^2 - 4ac > 0$ ist.

Wenn $D = 0$ ist, gibt es genau eine Lösung $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$.

Wenn $D < 0$ ist, besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung.

$a\;x^2 +b\;x +c = 0$ mit $a \not= 0$

Division auf beiden Seiten der Gleichung durch $a$:

$x^2 +\frac{b}{a}\;x +\frac{c}{a} = 0$

Setze in der pq-Formel $p = \frac{b}{a}$ und $q = \frac{c}{a}$:

$x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$

$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^2 - \frac{c}{a}}$

$x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{b^2}{a^2} - \frac{c}{a}}$

$x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

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