Quadratische Funktionen/Kapitel 2: Die Quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)² + ys" - Die Scheitelpunktsform

Die Quadratische Funktion "f(x)$=$(x - x_s)² + y_s" - Die Scheitelpunktsform

In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad

• Der Parameter y_s stellt sich vor
• Aufgaben zum Parameter y_s
• Der Parameter x_s stellt sich vor
• Aufgaben zum Parameter x_s
• Zusammenführung der Parameter y_s und x_s zur Scheitelpunktsform
• Aufgaben zur Scheitelpunktsform

Lernpfadgruppe

• Die quadratische Funktion stellt sich vor
• Die Scheitelpunktsform - f(x) = (x - x_s)² + y_s
• Die Normalform - f(x) = x² + bx + c
• Die modifizierte Normalparabel f(x)= ax²
• Die Scheitelpunktsform, die Normalform und der Parameter a

Mathematik-digital.de

Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion "f(x) = x²" kennengelernt.

In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei zusätzlichen Parametern beschäftigen.

Bevor wir beginnen, soll zunächst noch ein neuer Begriff eingeführt werden, da dieser später häufiger verwendet wird.

Normalparabel

Die quadratische Funktion "f(x)$=$x²" ist eine spezielle Parabel. Von ihr ausgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb Normalparabel

STATION 1: Der Parameter y_s stellt sich vor

Zunächst betrachten wir den Parameter y_s, welcher zur quadratischen Funktion "f(x) = x²" dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:

                                    f(x) = x2 + ys

Bearbeite die kommenden Aufgaben und entdecke die Eigenschaften vom Parameter y_s!

Hinweis:

• In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt und die von y_s abhängige, quadratische Funktion blau eingezeichnet

Der Parameter y_s

Bediene den Schieberegler y_s. Welche Veränderungen stellst du fest?

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter y_s verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.
Ist der Parameter y_s positiv, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben.
Ist der Parameter y_s hingegen negativ, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben.
Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt S[0,y_s]. Zudem ist die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.

Der Parameter y_s

Für die quadratische Funktion "f(x)$=$x² + y_s" gilt:

• Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der y-Achse
• Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
• Für y_s > 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach oben
• Für y_s < 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach unten
• Der Scheitelpunkt liegt bei S (0, y_s)
• Die y-Achse ist Symmetrieachse

Es folgen nun Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.

STATION 2: Aufgaben zum Parameter y_s - zum Vertiefen

Ordne zu!

Du siehst hier fünf verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x² + y_s". Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung. Falls du Probleme hast, betrachte nochmals die Veränderungen des oben aufgeführten Graphen.

y$=$ x2 + 2,5	y$=$ x2 + 1,5	y$=$ x2	y$=$ x2 - 3,5	y$=$ x2 - 0,5

Ordne den Funktionen den richtigen Scheitelpunkt zu!

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

$S(0 \vert 4,7)$	y$=$ x2 + 4,7
$S(0 \vert -23)$	y$=$ x2 - 23
$S(0 \vert -2,5)$	y$=$ x2 - 2,5
$S(0 \vert 0)$	y$=$ x2
$S(0 \vert 13)$	y$=$ x2 + 13

Ordne den Scheitelpunkten die richtige Funktion zu!

Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S.

y$=$ x2 + 5,2	S[0,5,2]
y$=$ 3 + x2	S[0,3]
y$=$ x2 - 3	S[0,-3]
y$=$ x2	S[0,0]

Ordne den Funktionen den passenden Scheitelpunkt zu!

Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen, sowie fünf verschiedene Koordinaten.
Finde zu jeder Funktionsgleichung den Punkt, der auf ihrer Parabel liegt.
Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel gehört.

Hilfe/Tipp: Es liegt nur dann ein Punkt auf der Parabel,
wenn durch Einsetzen eines x-Wertes,
der zugehörige y-Wert herauskommt.

y $=$ x2 - 1	S[3,8]
y $=$ x2 - 5	S[3,4]
y $=$ x2 + 0	S[2,4]
y $=$ x2 + 2	S[1,3]
y $=$ x2 + 4	S[2,8]

Überprüfe dein Ergebnis mit dem "GeoGebra-Applet". Verschiebe dafür die Parabel entsprechend der Funktionsgleichung.

STATION 3: Der Parameter x_s stellt sich vor

Nachdem du jetzt den Parameter y_s kennst, wollen wir uns mit dem Parameter x_s beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:

                                       f(x) = (x - xs)2

Erstes Kennenlernen!

Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler x_s in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-gestrichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine, mit gehaltener linker Maustaste, in die Lücken.

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter x_s der quadratischen Funktion "f(x) = (x - x_s)²" bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebumg des Parameters y_s, ist die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. Mit Hilfe des Schiebereglers x_s stellt man fest, dass für positive Werte eine Verschiebung um x-Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von x_s negativ, so wird der Graph um x-Einheiten nach links verschoben.
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x - x_s]²". Man macht leicht den Fehler und stellt für positve Werte die Gleichung "f(x) = [x + x_s]²" auf. Da die Funktionsgleichung jedoch "f(x) = (x - x_s)²" lautet, entsteht für positive Werte eine Differenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative Werte von x_s, denn dort lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x + x_s]²". Der Scheitelpunkt liegt im Punkt "S [x_s,0]", denn der y-Wert bleibt Null. Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.

Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!

Der Parameter x_s

Für die quadratische Funktion "f(x)$=$(x - x_s)²" gilt:

• Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der x-Achse
• Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
• Für x_s > 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach rechts
• Für x_s < 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach links
• Der Scheitelpunkt liegt bei S (x_s, 0)
• Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse

Achtung

• Für x_s > 0, mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x – x_s)²"

Beispiel: Für x_s = 5: f(x) = (x - 5)²

• Für x_s < 0, mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x + x_s)²"

Beispiel: Für x_s = -5: f(x) = (x + 5)²

Ebenso wie beim Parameter y_s, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen.

STATION 4: Aufgaben zum Parameter x_s

Ordne den Graphen die richtige Funktionsgleichung zu

Gegeben sind die Graphen fünf verschiedener quadratischer Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:

y$=$ [x + 4,5]2	y$=$ [x + 2,5]2	y$=$ [x + 0]2	y$=$ [x - 2]2	y$=$ [x - 5]2

Ordne den Funktionen den richtigen Scheitelpunkt zu

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

	Scheitelpunkt	Funktionsgleichung
1.	S $(2,5 \vert 0)$	y$=$ [x - 2,5]2
2.	S $(-3 \vert 0)$	y$=$ [x + 3]2
3.	S $(-2,5 \vert 0)$	y$=$ [x + 2,5]2
4.	S $(0 \vert 0)$	y$=$ x2
5.	S $(3 \vert 0)$	y$=$ [x - 3]2

Verschiebe die Parabeln richtig!

Du siehst im folgenden Koordinatensystem drei Parabeln. Man kann diese drei Parabeln durch Bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen.

     f(x) = (x - 2)2
     f(x) = (x - 5)2
     f(x) = (x + 3)2

Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst.

STATION 5: Zusammenführung der Parameter y_s und x_s zur Scheitelpunktsform

Bevor wir nun die beiden Parameter y_s und x_s zusammenführen, wollen wir die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. Mal sehen, wer am wenigstens Versuche braucht!

	Frage	Antwort
1.	Wie lautet der Scheitelpunkt für "y$=$ [x - 2]2"?	S $[2|0]$
2.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse?	y$=$ x2 - ys
3.	Wie lautet der Scheitelpunkt für "y$=$ x2 - 4"?	S $[0|-4]$
4.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse?	y$=$ [x + xs]2
5.	Wie lautet der Scheitelpunkt für "y$=$ x2 + 2"?	S $[0|2]$
6.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse?	y$=$ [x - xs]2
7.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse?	y$=$ x2 + ys
8.	Wie lautet der Scheitelpunkt für "y$=$ [x + 4]2"?	S $[-4|0]$

Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.

In dieser Lerneinheit hast du die Parameter y_s und x_s einzeln kennengelernt.

Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion "f(x) = (x - x_s)² + y_s", in der beide Parameter integriert sind.

Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat. Während der Parameter y_s für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter x_s den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - x_s)² + y_s" deshalb Scheitelpunktsform.
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter x_s und y_s.

Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun noch mal abgefragt. Viel Erfolg!

Quiz

Hinweise:

• In dem "GeoGebra-Applet" siehst du die verschobene Normalparabel

• Mit den Schiebereglern y_s und x_s kannst du die Lage der Parabel verändern

• Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen

Quiz:

Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. In deiner Lösung dürfen keine Bindestriche vorkommen, z.B. für die x-Achse schreibt man xAchse. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.

Scheitelpunkt	Wie nennt man den Punkt S(xs, ys) der Parabel?
Scheitelpunktsform	Wie bezeichnet man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - xs)² + ys?
Symmetrieachse	Wie heißt die Achse, für die x = ys gilt?
Normalparabel	Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent?
Unten	In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4?
x-Achse	Auf welcher Achse verschiebt der Parameter xs die Parabel?
Ebene	Die Parameter xs und ys bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der...
y-Achse	Auf welcher Achse verschiebt der Parameter ys die Parabel?
Zwei	Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben?

Die verschobene Parabel

Für die quadratische Funktion "f(x)$=$(x - x_s)² + y_s" gilt:

• Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel in der Ebene
• Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
• Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um x Einheiten entlang der x-Achse und um y Einheiten entlang der y-Achse
• Der Scheitelpunkt liegt bei S (x_s, y_s)
• Die Symmetrieachse hat die Gleichung "x $=$ y_s"

STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform

Kreuze alle richtigen Aussagen an!

"f(x) $=$ (x - 5)² - 3" (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S $[-3 \vert 5]$)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S $[5 \vert -3]$) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)

"f(x) $=$ 5 + (x + 12)²" (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)

"f(x) $=$ x² + 3" (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt S $[0 \vert 3]$) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)

"f(x) $=$-5 + (x - 6)²" (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)

Ordne den Scheitelpunkten die richtige Funktion zu

Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:

S $(2 \vert -5)$	y$=$ [x - 2]2 - 5
S $(4 \vert -8)$	y$=$ [x - 4]2 - 8
S $(4 \vert 8)$	y$=$ [x - 4]2 + 8
S $(5 \vert -2)$	y$=$ [x - 5]2 - 2

Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!

y$=$ [x + 3]2 + 4		y$=$ [x - 3]2 + 2		y$=$ [x - 1]2 - 5		y$=$ [x + 5]2 - 1

Kniffelaufgabe

Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken.
Gegeben ist die Funktion "f(x) = (x + 3)² + 1,5" und die Punkte W, X, T und P. Welche dieser Punkte liegt auf dem Graph? Überprüfe dies durch Kopfrechnung!

     a)	W $(0 \vert 1)$ 
     b)	X $(0 \vert 10,5)$ 
     c)	T $(-1 \vert 2)$ 
     d)	P $(-3 \vert 1,5)$ 

Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen!

Setze den x-Wert in die Gleichung ein, wenn du den vorgegebenen y-Wert erhälst, dann liegt der Punkt auf der Parabel

Bediene nun den Schieberegler, um den Graph der Funktion an die richtige Stelle zu positionieren. Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.

Prima!

Damit kennst du nun die Parameter x_s und y_s, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen.

Die Normalform