Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und pq-Formel

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Lernschritt Linearfaktorform und pq-Formel

• In diesem Lernschritt wird erklärt, was die Linearfaktorform einer quadratischen Funktion ist und wozu sie genutzt werden kann.
• In diesem Zusammenhang wird auch die Nullprodukt-Regel und der Begriff der Nullstelle einer Funktion wiederholt.
• Schließlich wird gezeigt, wie man aus der Normalform mithilfe der so genannten pq-Formel oder mit der "Mitternachtsformel" die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen und damit ihre Linearfaktorform erstellen kann.

Linearfaktorform

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf

Neben der Scheitelpunktform und der Normalform gibt es noch eine weitere Darstellungsform für quadratische Funktionen, nämlich die Linearfaktorform. Ein Beispiel hierfür ist die Funktionsgleichung

$f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$

Der Funktionsterm ist das Produkt zweier Klammern, die beide einen linearen x-Ausdruck enthalten. Das bedeutet: Jeder Klammerausdruck ist einzeln für sich genommen der Funktionsterm einer (linearen) Geradengleichung, in dem die Variable $x$ nur einfach, also nicht zum Quadrat oder in einer noch höheren Potenz vorkommt. Da die beiden Klammern innerhalb des Produkts also "lineare Faktoren" sind, heißt der gesamte Funktionsterm "Linearfaktorform".

Wenn man in der Beispielfunktion $f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$ die beiden Klammern ausmultipliziert, erkennt man, dass es sich dabei um die Funktion $f(x) = x^2 -6x +5$ aus der 1. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform handelt, die in der Abbildung QF05 Abbildung 1 Arial24 dargestellt ist:

$f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$ $= x^2 -5x -x + 5$ $= x^2 -6x + 5$

In der Abbildung erkennt man, dass diese Parabel die x-Achse in den beiden Punkten $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ schneidet. Dies lässt sich rechnerisch sehr leicht bestätigten, indem man die x-Koordinaten dieser Punkte in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt. Dafür eignet sich die Linearfaktorform ganz besonders gut, denn durch Einsetzen des x-Wertes $x_1 = 1$ erhält man

$f(1) = (1-1) \cdot (1-5) = 0 \cdot (-4) = 0$

Die erste Klammer wird offensichtlich Null und das reicht aus, damit auch das gesamte Produkt Null wird. Entsprechend wird durch Einsetzen des x-Wertes $x_2 = 5$ die zweite Klammer - und damit das gesamte Produkt - zu Null:

$f(5) = (5-1) \cdot (5-5) = 4 \cdot 0 = 0$

In der Linearfaktorform einer Funktion kann man direkt ablesen, an welchen Stellen ihr Graph die x-Achse schneidet: Es sind diejenigen x-Werte, deren Einsetzung in die Funktionsgleichung dafür sorgen, dass mindestens eine der Klammern - und damit der gesamte Funktionsterm - gleich Null wird. Diese speziellen x-Werte bezeichnet man auch als "Nullstellen" der Funktion. Sie sind die Lösungen der Gleichung

$(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0$.

Definitionen Nullstelle

Eine Zahl $x_N$ heißt Nullstelle einer Funktion $f$, wenn gilt $f(x_N) = 0$.

1. Aufgabe

Man kann die Linearfaktorform auch nutzen, um zu zwei vorgegebenen x-Werten eine quadratische Funktion zu finden, deren Graph die x-Achse genau an diesen beiden Stellen schneidet.

1. Bestimme die Linearfaktorform und die Normalform einer quadratischen Funktion $f$, deren Graph die x-Achse in den Punkten $N_1(-2|0)$ und $N_1(4|0)$ schneidet.
2. Gibt es mehrere solche Funktionen? Wie sehen ihre Funktionsgleichungen aus und worin unterscheiden sich ihre Graphen?
3. Ermittle die Normalform einer Parabel $g$, die die x-Achse in den Punkten $N_1(-2|0)$ und $N_1(4|0)$ und die y-Achse im Punkt $S_g(0|4)$ schneidet.

1. $f(x) = (x+2) \cdot (x-4)$ $= x^2 -4x +2x - 8$ $= x^2 -2x - 8$
2. Alle Funktionen der Schar $f_a(x) = a \cdot (x+2) \cdot (x-4)$ mit $a \not= 0$ besitzen die Nullstellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 4$. Um die Nullstellen zu berechnen, setzt man
   $a \cdot (x+2) \cdot (x-4) = 0$
   Wegen $a \not= 0$ kann man auf beiden Seiten durch $a$ dividieren und erhält die Gleichung
   $\cdot (x+2) \cdot (x-4) = 0$ mit den Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2 = 4$.
   Alle Parabeln der Schar $f_a$ schneiden die x-Achse in den gleichen Punkten $N_1(-2|0)$ und $N_1(4|0)$. Wenn man den Parameter a verändert, wandert der Scheitelpunkt auf einer Parallelen zur y-Achse, die durch den Punkt $(1|0)$ geht.
3. $f_a(x) = a \cdot (x^2 -2x - 8) = ax^2 -2ax - 8a$ Für $a= -\frac{1}{2}$ hat das absolute Glied und damit der y-Achsenabschnitt den Wert $(-8) \cdot (-\frac{1}{2}) = 4$. Die gesuchte Funktion $g$ hat die Gleichung $g(x) = f_{-0,5}(x) =-\frac{1}{2} x^2 +x +4$

Allgemeine Linearfaktorform

Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion $f$ die Form

$\boldsymbol{ f(x) =a\;(x-x_1)\; (x - x_2) }$   mit   $a \not= 0$

besitzt, dann befindet sie sich in der allgemeinen Linearfaktorform. In dieser kann man die x-Koordinaten $x_1$ und $x_2$ der Schnittpunkte mit der x-Achse $N(x_1|0)$ und $N(x_2|0)$ direkt ablesen. Die x-Koordinaten $x_1$ und $x_2$ bezeichnet man als ihre Nullstellen.

Beachte: In der allgemeinen Funktionsgleichung der Linearfaktorform stehen die Nullstellen in den Klammern hinter einem Minuszeichen. Ein konkreter Ausdruck wie $(x+2)\;(x-4)$ muss also umgeformt werden zu $(x-(-2)\;(x-4)$, damit die Nullstellen$x_1 = -2$ und $x_2 = +4$ beide hinter einem Minuszeichen erscheinen.

Von der Scheitelpunktform zur Linearfaktorform

Es stellt sich nun die Frage, wie man

1. Aufgabe - Linearfaktorform aus Nullstellen erstellen

Gegeben ist die Gleichung der Funktion $f$ in der Form $f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$. Zeige durch Ausmultiplizieren der Klammern und Zusammenfassen des Terms, dass es sich um die Funktion $f(x) = x^2 -6x +5$ aus der 1. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform handelt, die in der Abbildung QF05 Abbildung 1 Arial24 dargestellt ist.

1. Begründe rechnerisch, dass diese Parabel die x-Achse in den Punkten $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ schneidet. Warum ist dafür die gegebene Form der Funktionsgleichung mit den beiden Klammern besonders vorteilhaft?

1. $f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$ $= x^2 -5x -x + 5$ $= x^2 -6x + 5$
2. Allgemeiner Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse: $f(x) = 0$ setzen, um die x-Koordinaten dieser Punkte zu berechnen.
   Im vorliegenden Fall führt der Ansatz zu der Gleichung: $(x-1) \cdot (x-5) = 0$
   An dieser Stelle kann nun die "Nullprodukt-Regel" angewandt werden, die besagt: "Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist."
   Das bedeutet in diesem Fall: Entweder der Inhalt der ersten Klammer ist gleich Null oder der Inhalt der zweiten Klammer: $x-1 = 0$ oder $x-5 = 0$.
   Daraus folgt: $x =1$ oder $x = 5$. Es gibt also zwei Lösungen: $x_1 =1$ und $x_2 =5$.