Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und pq-Formel

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Lernschritt Linearfaktorform und pq-Formel

• In diesem Lernschritt wird erklärt, was die Linearfaktorform einer quadratischen Funktion ist und wozu sie genutzt werden kann.
• In diesem Zusammenhang wird auch die Nullprodukt-Regel und der Begriff der Nullstelle einer Funktion wiederholt.
• Schließlich wird gezeigt, wie man aus der Normalform mithilfe der so genannten pq-Formel bzw. "Mitternachtsformel" die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen und damit ihre Linearfaktorform erstellen kann.

1. Aufgabe - Linearfaktorform aus Nullstellen erstellen

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf

Gegeben ist die Gleichung der Funktion $f$ in der Form $f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$. Zeige durch Ausmultiplizieren der Klammern und Zusammenfassen des Terms, dass es sich um die Funktion $f(x) = x^2 -6x +5$ aus der 1. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform handelt, die in der Abbildung QF05 Abbildung 1 Arial24 dargestellt ist.

1. Begründe rechnerisch, dass diese Parabel die x-Achse in den Punkten $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ schneidet. Warum ist dafür die gegebene Form der Funktionsgleichung mit den beiden Klammern besonders vorteilhaft?

1. $f(x) = (x-1) \cdot (x-5)$ $= x^2 -5x -x + 5$ $= x^2 -6x + 5$
2. Allgemeiner Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse: $f(x) = 0$ setzen, um die x-Koordinaten dieser Punkte zu berechnen.
   Im vorliegenden Fall führt der Ansatz zu der Gleichung: $(x-1) \cdot (x-5) = 0$
   An dieser Stelle kann nun die "Nullprodukt-Regel" angewandt werden, die besagt: "Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist."
   Das bedeutet in diesem Fall: Entweder der Inhalt der ersten Klammer ist gleich Null oder der Inhalt der zweiten Klammer: $x-1 = 0$ oder $x-5 = 0$.
   Daraus folgt: $x =1$ oder $x = 5$. Es gibt also zwei Lösungen: $x_1 =1$ und $x_2 =5$.