Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel

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Lernschritt Eigenschaften der Normalparabel

In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die eine quadratische Funktion $f(x) = x^2$, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen jeder beliebigen quadratischen Funktion, also alle Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.

• In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.
• Du lernst einige graphische Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie rechnerisch begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.
• Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der Quadratwurzel einer Zahl versteht (und was nicht).

Die Normalparabel ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$. (Was eine Funktion im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite Funktionen ausführlich erklärt.) Jetzt soll untersucht werden, wie die Normalparabel aussieht und wie sie entsteht. Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, erstellt man üblicherweise eine Wertetabelle, in der man einer Reihe von x-Werten die jeweils dazugehörigen y-Werte gegenüberstellt, die mithilfe der Funktionsvorschrift, in diesem Fall $f(x) = x^2$, berechnet werden können. Anschließend zeichnet man die Wertepaare $(x | y)$ aus der Tabelle als Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Im Fall der Funktion $f(x) = x^2$ könnte eine solche Wertetabelle z.B. so aussehen:

Wertetabelle

Tabelle 1: $f(x)=x^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	9	4	1	0	1	4	9

In der Tabelle 1 wurden als x-Werte ganze Zahlen verwendet. Im Prinzip können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte gewählt werden.

Aus dieser Tabelle 1 kann man ablesen, dass die Punkte $A(-3|9)$, $B(-2|4)$, $C(-1|1)$, $D(0|0)$, $E(1|1)$, $F(2|4)$ und $G(3|9)$ zum Graphen der Funktion $f(x)=x^2$ gehören. Aber wie sieht der Graph zwischen diesen Punkten aus?

Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form $y = m \cdot x +b$ besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf der gleichen Geraden liegen. Das ist bei der Funktion $f(x) =x^2$ offensichtlich nicht so. Aber wie ist es dann? Kann man die Punkte $A$ bis $G$ aus der Tabelle 1 etwa von Punkt zu Punkt gradlinig durch Strecken verbinden? Oder verläuft der Graph zwischen den Punkten gekrümmt? Um dies herauszufinden, erweitern wir die Tabelle 1 um weitere Wertepaare.

1. Aufgabe (Erkunden) - Erweiterung der Wertetabelle

Übertrage die Tabelle 2 für die Funktion $f(x)=x^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie für positive x-Werte. Runde auf zwei Stellen hinter dem Komma.

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25		0,75	1,25		1,75	2,25
f(x)		0,25			2,25			6,25

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25	0,5	0,75	1,25	1,5	1,75	2,25	2,5
f(x)	0,06	0,25	0,56	1,56	2,25	3,06	5,06	6,25

Funktionsgraph

2. Aufgabe (Erkunden) - Aussehen und Eigenschaften der Normalparabel

• Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 in deinem Arbeitsheft als Punkte in ein Koordinatensystem.
• Füge einige beliebige weitere Punkte hinzu - z.B. die entsprechenden Punkte links von der y-Achse.
• Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ aus - also die Menge aller Punkte $P(x | x^2)$ im Koordinatensystem?
• Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen.

Auswertung der Ergebnisse

QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf
Punkte $(x | x^2)$ aus den Wertetabellen 1 und 2

Die Abbildung legt verschiedene Aussagen nahe, z.B.

• Je mehr Punkte $(x|x^2)$ man berechnet und im Koordinatensystem einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte zu einer durchgehenden, gekrümmten Linie.
• Der Graph geht durch den Koordinatenursprung und verläuft ansonsten ausschließlich im 1. und 2. Quadranten.
• Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.
• Im Ursprung hat die Normalparabel ihren tiefsten Punkt. (Dies ist ihr so genannter "Scheitelpunkt".)
• Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er.
• Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Man kann bestimmte geometrische Eigenschaften von Funktionsgraphen - wie z.B. die Eigenschaft der Achsensymmetrie - mithilfe rechnerischer Eigenschaften des Funktionsterms überprüfen. Die Achsensymmetrie zur y-Achse kann man rechnerisch mit der Gleichung $f(x) =f(-x)$ nachweisen.

Achsensymmetrie eines Funktionsgraphen

Der Graph einer Funktion $f$ verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion die Gleichung gilt:

$f(x) =f(-x)$.

3. Aufgabe (Begründen) - Achsensymmetrie der Normalparabel

• Zeige, dass die Funktion $f(x) = x^2$ die Bedingung $f(x) =f(-x)$ für alle $x \in \mathbb {R}$ erfüllt.
• Wie kann man die Symmetrie der Normalparabel zur y-Achse mit dieser Gleichung begründen?

Erinnerung Achsenspiegelung: Ein Punkt P wird an einer Geraden gespiegelt, indem man von $P$ aus auf dem kürzesten Weg, d.h. im rechten Winkel auf die Gerade zuläuft. Der Punkt, in welchem man auf die Gerade trifft, werde mit $Q$ bezeichnet. Verlängert man nun die Strecke $\overline{PQ}$ um die Länge dieser Strecke noch einmal in gleicher Richtung über die Gerade hinaus, so landet man im "Spiegelpunkt" $P'$.

• Für alle $x \in \mathbb {R}$ gilt: $f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)$.
• Um die Achsensymmetrie zur y-Achse nachzuweisen, kann man einen beliebigen Punkt $P(x|x^2)$ auf dem rechten Parabelast wählen und geht von dort aus auf dem kürzesten Weg, also parallel zur x-Achse, auf die y-Achse zu. Der Punkt, in dem man auf die y-Achse trifft, besitzt die Koordinaten $Q(0|x^2)$. Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ ist $x$. Verlängert man nun $\overline{PQ}$ um die gleiche Länge noch einmal in gleicher Richtung, so landet man im "Spiegelpunkt" $P'(-x|x^2)$. Dieser liegt aber ebenfalls auf der Normalparabel, denn er erfüllt die Bedingung aller Parabelpunkte: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$.

Die Parabel-Treppe

Manchmal ist es nützlich, wenn man vom Scheitelpunkt einer Parabel ausgehend schnell und ohne größere Rechnung die Koordinaten weiterer Parabelpunkte angebenen kann. Mit der Parabel-Treppe ist das einfach möglich. Außerdem macht sie noch einmal anschaulich klar, dass die "Steilheit" der Normalparabel zunimmt, je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt.

Den Anfang der Parabel-Treppe kann man so beschreiben: Man geht im Koordinatensystem vom Scheitelpunkt der Normalparabel $P_0(0|0)$ aus erst um eine Einheit nach rechts zum Zwischenpunkt $Z_1(1|0)$ und dann von hier aus senkrecht nach oben, bis man im Parabelpunkt $P_1(1|1)$ wieder auf die Parabel trifft. Die Länge der senkrechten Strecke $\overline{Z_1P_1}$ beträgt 1 Einheit und entspricht der Höhe der 1. Stufe.

4. Aufgabe (Erkunden) - weitere Stufen der Parabel-Treppe

QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf

1. Gehe im Koordinatensystem vom Parabelpunkt $P_1(1|1)$ aus um eine Einheit nach rechts und anschließend wieder senkrecht nach oben bis zur Parabel. Die Länge dieser senkrechte Strecke entspricht der Höhe der 2. Treppenstufe. Wie hoch ist diese? Wie lauten die Koordinaten des Punktes $P_2$, in dem du jetzt auf der Parabel gelandet bist?
2. Gehe auch von $P_2$ aus wieder um eine Einheit nach rechts und dann senkrecht bis zur Normalparabel. Um wie viele Einheiten musst du dabei senkrecht gehen, d.h. wie hoch ist die 3. Stufe?
3. Wenn du die Stufenschritte noch weiter wiederholst: Um wie viele Einheiten musst du bei den nächsten Schritten jeweils senkrecht nach oben gehen? Welche Regelmäßigkeit steckt dahinter? Was vermutest du?
4. Formuliere deine Vermutung in Form einer Gleichung, mit der die Höhe $h$ der x-ten Stufe aus der Nummer $x$ dieser Stufe berechnet werden kann. Berechne mit dieser Formel die Höhe der 100. Stufe.

1. Wenn man von $P_1(1|1)$ aus eine Einheit nach rechts geht, muss man 3 Einheiten nach oben gehen, um im Punkt $P_2(2|4)$ wieder auf der Parabel zu landen. Die 2. Stufe ist also 3 Einheiten hoch.
2. Von $P_2$ aus geht man eine Einheit nach rechts und dann 5 Einheiten nach oben, um im Punkt $P_3(3|9)$ wieder auf die Parabel zu treffen. Die 3. Stufe ist also 5 Einheiten hoch.
3. Die Stufenhöhen sind bei den ersten drei Stufen 1, 3 und 5, also aufeinander folgende ungerade Zahlen. Vermutung: Auch die weiteren Stufenhöhen sind die nächsten ungeraden Zahlen, also 7 und 9.
4. Entwicklung einer Formel für die Berechnung der x-ten Stufenhöhe:
   Stufe Nr. 1: $h = 2 \cdot \boldsymbol{1} -1 = 1$
   Stufe Nr. 2: $h = 2 \cdot \boldsymbol{2} -1 = 3$
   Stufe Nr. 3: $h = 2 \cdot \boldsymbol{3} -1 = 5$
   Stufe Nr. x: $h = 2 \cdot \boldsymbol{x} -1$
   In der 100. Stufe beträgt die Höhe demnach $h = 2 \cdot 100 -1 = 199$.

5. Aufgabe (Begründen) - allgemeine Regel für die Parabel-Treppe

Beweise die Formel für die Höhe der x-ten Stufe $h = 2 \cdot x -1$ mit $x \in \mathbb {N}$ (Vermutung aus der vorangegangenen Aufgabe) rechnerisch mithilfe des Funktionsterms der Normalparabel.

Die Höhe einer Stufe entspricht der Höhendifferenz zweier benachbarter Parabelpunkte, deren Abstand in x-Richtung 1 beträgt.

Beispiel: Die Höhe der 2. Stufe entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte $P_2(2|4)$ und $P_1(1|1)$, also der Differenz der Funktionswerte $f(2)$ und $f(1)$. Es gilt $h = f(2) - f(1) = 2^2 - 1^2 = 4 -1 = 3$.

Allgemeine Begründung: Die Höhe der x-ten Stufe ( $x \in \mathbb {N}$ ) entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte $P_x(x|f(x))$ und $P_{x-1}(x-1|f(x-1))$, also der Differenz der Funktionswerte $f(x)$ und $f(x-1)$. Es gilt daher: $h = f(x)- f(x-1)=x^2 -(x-1)^2$ $= x^2 -(x^2 -2x +1)$ $= x^2 -x^2 +2x -1$ $= 2x -1$

Zusammenfassung Normalparabel

QF01 Normalparabel Arial24.pdf
Normalparabel, Graph der Funktion $f(x) =x^2$

Definition Normalparabel

• Der Graph der quadratischen Funktion $f(x)=x^2$ wird als Normalparabel bezeichnet.
• Die Normalparabel ist die Menge aller Punkte $P(x | x^2)$ ( $x \in \mathbb {R}$ ) im Koordinatensystem, deren y-Koordinate das Quadrat der x-Koordinate ist, kurz: $y = x^2$.
• Der Definitionsbereich der Funktion $f(x)=x^2$ ist $\mathbb {D} = \mathbb {R}$, da jede Zahl $x \in \mathbb {R}$ quadriert werden kann. Ihr Wertebereich ist $\mathbb {W} = \mathbb {R}_0^+$, da durch das Quadrieren keine negativen Werte entstehen können.
• Der tiefste Punkt der Normalparabel $(0|0)$ wird als ihr Scheitelpunkt bezeichnet.

Eigenschaften der Normalparabel

• Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.
• Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er.
• Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.

6. Aufgabe (Üben) - Graphisches Quadrieren

Lies für folgende x-Werte den Wert $y=x^2$ "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).

1. $x=2,7$    $x^2=?$
2. $x=-2,5$    $x^2=?$
3. $x=1,8$    $x^2=?$

Du kannst für dieses Aufgabe entweder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden (, die es im Anhang auch mit Braille-Beschriftung als taktile Schwellpapier-Kopiervorlage gibt), oder das GeoGebra-Applet "Normalparabel $f(x) = x^2$. In diesem kannst du den Punkt auf der x-Achse oder den Punkt auf der Parabel mit der Maus verschieben.

Quadratwurzel

Definition Quadratwurzel

Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl $a$ ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat $a$ ist. Man bezeichnet diese Zahl mit dem Symbol $\sqrt{a}$. Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: $\sqrt{0} = 0$.

Anmerkungen zur Quadratwurzel-Definition:

1. Die Gleichung $x^2 = 9$ besitzt zwar zwei Lösungen, nämlich $x_1 = -3$ und $x_2 = 3$. Aber nur die positive dieser beiden Lösungen wird als "Quadratwurzel aus 9" $\sqrt{9}$ (oder kurz "Wurzel aus 9") definiert. (Diese Festlegung sorgt dafür, dass die Wurzel-Definition eindeutig ist).
2. Für negative Zahlen $a$ ist die Quadratwurzel nicht definiert ( - jedenfalls im Moment noch nicht). Es gibt beispielsweise keine reelle Zahl $x \in \mathbb {R}$, für die $x^2 = -1$ ist. Dementsprechend ist auch der Ausdruck $\sqrt{-1}$ keine reelle Zahl und somit in $\mathbb {R}$ nicht definiert.

7. Aufgabe (Üben) - Graphisches Wurzelziehen

Lies für folgende y-Werte ihre Quadratwurzel "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Du kannst hierfür wieder entweder das GeoGebra Applet "Normalparabel $f(x) = x^2$" oder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).

1. $y=1,44$    $\sqrt{y}=?$
2. $y=6,25$    $\sqrt{y}=?$
3. $y=2$    $\sqrt{y}=?$

8. Aufgabe (Üben) - Punktprobe

Untersuche für jeden der folgenden drei Punkte, ob der Punkt jeweils oberhalb, unterhalb oder genau auf der Normalparabel liegt.

1. $P(0,7|0,5)$
2. $Q(9|80)$
3. $R(-0,1|0,01)$

Rechnerische Überprüfung durch Einsetzen der Punkt-Koordinaten in die Funktionsgleichung der Normalparabel $f(x)=x^2$:

1. $P(0,7|0,5)$: $f(0,7)=0,7^2 = 0,49 < 0,5$. Um vom Punkt $(0,7|0)$ auf der x-Achse bis zum Punkt $(0,7|0,49)$ auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 0,49 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt $P(0,7|0,5)$ liegt 0,01 Einheiten darüber, also oberhalb der Normalparabel.
2. $Q(9|80)$: $f(9)=9^2 = 81 > 80$. Der Punkt $Q(9|80)$ liegt unterhalb der Normalparabel.
3. $R(-0,1|0,01)$: $f(-0,1)=(-0,1)^2 = 0,01$. Der Punkt $R(-0,1|0,01)$ liegt exakt auf der Normalparabel.

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