Gleichwertigkeit von Termen - Einführung/Gleichwertigkeit von Termen - Erkundung 3

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Hinweise

Videos

Da die Videos alle über Youtube hochgeladen sind, funktioniert die Bedienung genau wie ein solches Video. Über den roten Playbutton startest du das Video und unten rechts in der Menüleiste kannst du den Vollbildmodus aktivieren.

Learningapps

Das Bild auf der rechten Seite zeigt eine auf der Website integrierte Learningapp. Auch diese wirst du auf den folgenden Seiten immer wieder sehen. Du kannst die Learningapp direkt auf der Seite bearbeiten, auf der du dich gerade befindest. Sollte dir diese Möglichkeit zu klein sein, kannst du auch in den Vollbildmodus schalten. Dafür musst du nur auf das Vergrößerungssymbol in der rechten oberen Ecke der Learningapp klicken (s. Bild). Das Fragezeichen in der oberen linken Ecke zeigt dir die Aufgabenstellung.

GeoGebra-Applets

Die Applets sind intuitiv zu verwenden. Auf der linken Seite befindet sich der Arbeitsbereich. Die rechte Seite zeigt dir die Aufgabenstellung und Hinweise. Eine Vergrößerung ist in diesem Fall nicht möglich. Sollte ein Applet nicht angezeigt werden, versuche zunächst die Seite neu zu laden. Funktioniert die Anwendung anschließend immer noch nicht, kannst du sie über den unter jeden App bereitgestellten Link erreichen. Du wirst dann auf eine externe Seite weitergeleitet, die du nach Bearbeitung einfach wieder schließen kannst.

Eingeben von Lösungen

Es kann vorkommen, dass du deine Lösungen (Terme oder Ergebnisse) durch Eintragen in freie Felder überprüfen musst. Wenn du die Einheiten mit angeben sollst, wird dies von dir in der Aufgabenstellung gefordert. Zwischen Einheit und Zahl darf kein Leerzeichen gesetzt werden. Malzeichen werden als "*" eingetragen. Eine Potenz wird mit "^" zwischen den Zahlen (bzw. Variable und Zahl) eingegeben. Sollte nachdem du auf "prüfen!" geklickt hast, nichts weiter angezeigt werden, musst du die Eingabe in einer anderen Form wiederholen (z.B. durch Vertauschen von Faktoren oder Summanden).

Sternchen-Aufgaben

Aufgaben die mit einem Stern gekennzeichnet sind, sind Zusatzübungen. Diese sollst du zunächst nicht bearbeiten. Bist du mit dem Lernpfad fertig und deine Zeit ist noch nicht verstrichen, kannst du einfach zu den Aufgaben zurückkehren. Über die Navigationszeile ganz oben auf jeder Seite, kannst du zwischen den Seiten hin und her springen.

Diese Hinweise kannst du dir am Anfang jeder Seite erneut anzeigen lassen.

Ein Tisch muss her

Herr Mayer und Tim haben einen Auftrag von einer Gaststätte erhalten. Sie sollen ein Buffet an eine Wand mit "Ausbuchtung" anpassen. Zusätzlich soll das Buffet auch um die Ecke verlaufen. Es kann aus einer beliebigen Kombination von Tischplatten aus Herrn Mayers Sortiment zusammengesetzt werden. Die Platten sind zwar unterschiedlich Lang, aber sind alle 1m breit. Der Gastronom hat die folgenden Skizzen beim Schreinermeister hinterlassen.

Aufgabe 1 a)

Ein Restaurantbesitzer bestellt ein Buffet. Er bezahlt die Materialkosten der Tischplatten, deren genaue Anzahl und Zusammensetzung er nicht angibt. Der Stundenlohn von Herrn Mayer beträgt 15€ und Tims Stundenlohn 5€. Herr Mayer arbeitete insgesamt "t" Stunden und Tim arbeitete "s" Stunden. Da der Kunde sehr wohlhabend und ein Freund von Handwerksbetrieben ist, verdoppelt er die gesamte zu zahlende Summe. Stelle einen Term auf, der die Ausgaben des Restaurantbesitzers beschreibt.

$(w\cdot 50 \euro{}+x\cdot95 \euro{}+y\cdot140 \euro{}+z\cdot 185\euro{}+t\cdot 15\euro{}+s\cdot5\euro{})\cdot 2$

Aufgabe 1 b)

Tim kann zu folgendem Term zur Kostenberechnung den Auftrag nicht wiederfinden.

$\frac{w\cdot 50 \euro{}+x\cdot95 \euro{}+y\cdot140 \euro{}+z\cdot 185\euro{}}{2}+t\cdot 15\euro{}+s\cdot5\euro{}+50\euro{}$

Erfinde eine Geschichte im bisherigen Kontext und schreibe sie in dein Lernpfadprotokoll.

Beispiel: Ein Kunde muss das bestellte Buffet bezahlen. Da er einen Gutschein besitzt, muss er nur die Hälfte der Materialkosten bezahlen. Die Stundenlöhne von Herrn Mayer und Tim bezahlt er vollständig und gibt den beiden noch 50€ Trinkgeld.

Aufgabe 1 c)

Tim hat zwei Terme aufgestellt, um den Flächeninhalt der Tischplatte zu berechnen. Diese sehen ähnlich aus und er ist sich sehr sicher, dass sie beide richtig sind. Überprüfe, ob die Terme gleichwertig sind. Berechne die Termwerte und trage sie in den Tabellen in die entsprechenden Spalten ein! Notiere deine Erkenntnis im Lernpfadprotokoll.

$a$

4 m
3 m
2 m
1 m

$b$

1 m
2 m
3 m
4 m

$c$

1 m
2 m
3 m
4 m

$d$

1 m
1 m
1 m
2 m

$a\cdot1m+(b-1 m)\cdot1m+c\cdot1m+d\cdot1m$

$4m\cdot1m+(1m-1m)\cdot1m+1m\cdot1m+1m\cdot1m$
$3m\cdot1m+(2m-1m)\cdot1m+2m\cdot1m+1m\cdot1m$
$2m\cdot1m+(3m-1m)\cdot1m+3m\cdot1m+1m\cdot1m$
$1m\cdot1m+(4m-1m)\cdot1m+4m\cdot1m+2m\cdot1m$

Wert

6m^2()
7m^2()
8m^2()
10m^2()

$a$

4 m
3 m
2 m
1 m

$b$

1 m
2 m
3 m
4 m

$c$

1 m
2 m
3 m
4 m

$d$

1 m
1 m
1 m
2 m

$(a+b+1m+c-d)\cdot1m$

$(4m+1m+1m+1m-1m)\cdot1m$
$(3m+2m+1m+2m-1m)\cdot1m$
$(2m+3m+1m+3m-1m)\cdot1m$
$(1m+4m+1m+4m-2m)\cdot1m$

Wert

6m^2()
7m^2()
8m^2()
8m^2()

Das Beispiel zeigt, dass es nicht immer möglich ist, nur durch Berechnung von Termwerten deren Gleichheit zu ermitteln (Einsetzungsgleichheit).

Manchmal sehen zwei Terme zwar ähnlich aus und scheinen für einige Werte gleichwertig zu sein, das muss jedoch nicht für alle Werte gelten.

Wir benötigen also eine andere Möglichkeit, die Gleichwertigkeit von Termen zu untersuchen.

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Übung

Auf der rechten Seite findest du eine Auflistung der möglichen Tischplattenlängen und Preise, die Herr Mayer in so einem Fall anbietet. Finde einen Term, mit dem die Kosten für ein beliebiges Buffet dieser Art berechnet werden kann.

$K=w\cdot 50 \euro{}+x\cdot95 \euro{}+y\cdot140 \euro{}+z\cdot 185\euro{}$

Übung

Der Gastronom hat eine Beispielrechnung durchgeführt. Deshalb hat er zwei Terme aufgestellt, um die Kosten zu berechnen. Seine Skizze, die eine Zusammensetzung der Tischplatten zum Buffet nach seinen Vorstellungen wiedergab, findet er allerdings nicht wieder. Kannst du ihm helfen? Zeichne eine Skizze mit einer passenden Stückelung der Tischplatten. Du findest unten ein Beispiel (ACHTUNG: Dieses passt nicht zur Stückelung, die durch die Terme wiedergegeben wird).

$4\cdot185\euro{}+50\euro{}+95\euro{}$

$185\euro{}+185\euro{}+50\euro{}+185\euro{}+185\euro{}+95\euro{}$

Übung

Stelle mindestens 3 verschiedene Terme auf, mit denen man den Flächeninhalt des Tisches berechnen kann.

$A=a\cdot 1 m+(b-1 m)\cdot 1 m+d\cdot1 m+c\cdot 1m$

$A=(b+c+d)\cdot 1 m+e\cdot1 m$

$A=(b+c+d)\cdot (1 m+e)-d\cdot1 m-c\cdot1 m-(b-1 m)\cdot1 m$

$A=(b\cdot a-e\cdot (b-1 m))+(d\cdot a-d\cdot1 m)+(c\cdot a-c\cdot 1 m)$

$A=(a\cdot 1 m)+((b-1 m+c+d)\cdot (1 m+e)-d\cdot1 m-c\cdot1 m-(b-1 m)\cdot1 m)$

$A=b\cdot a-e\cdot (b-1 m)+d\cdot1 m+c\cdot1 m$

Erkundung 2