Zentrische Streckung/Eigenschaften der zentrischen Streckung/4.Station

Eigenschaften der zentrischen Streckung

1. Fixelemente
2. Geradentreue und Parallelentreue
3. Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue
4. Längenverhältnistreue
5. Kreistreue
6. Zusammenfassung
7. Übung

4. Station: Längenverhältnistreue

Definition Längenverhältnistreue

Längenverhältnistreue liegt vor, wenn das Längenverhältnis von zwei Bildstrecken gleich dem Längenverhältnis der beiden Urstrecken ist.

Finde heraus ob eine zentrische Streckung längenverhältnistreu ist!

Arbeitsauftrag:

1. Berechne den Streckungsfaktor k.
   
2. Berechne ${\overline {A'P'}}$ und ${\overline {P'B'}}$. (Tipp: Beim Eintragen Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit nicht vergessen!)
3. Berechne ${{\overline {AP}} \over {\overline {PB}}}$ und ${{\overline {A'P'}} \over {\overline {P'B'}}}$. Runde auf 2 Nachkommastellen.

Mit Hilfe der folgenden Lückentexte kannst du den Arbeitsauftrag lösen.

Denk konzentriert nach und setze die richtige Aussage in die passende Lücke ein, um die Ergebnisse berechnen zu können:

Zu Punkt 1:

$\mid k\mid$ = ${\overline {ZB'}}$ : ${\overline {ZB}}$
Einsetzen der Werte:
$\mid k\mid$ = 6 : 3 = 2 (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)

Zu Punkt 2:

${\overline {A'P'}}$ = $\mid k\mid$ $\cdot$ ${\overline {AP}}$
Einsetzen der Werte:
${\overline {A'P'}}$ = 2 $\cdot$ 0,7 cm = 1,4 cm (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner und gib die Einheit mit an!)

${\overline {P'B'}}$ = $\mid k\mid$ $\cdot$ ${\overline {PB}}$
Einsetzen der Werte:
${\overline {P'B'}}$ = 2 $\cdot$ 1,5 cm = 3 cm (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner und gib die Einheit mit an!)

Zu Punkt 3:

Entnehme dem Bild die Werte, berechne und runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen:

${\frac {\overline {AP}}{\overline {PB}}}$ = ${\frac {0,7cm}{1,5cm}}$ = 0,47 (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)
${\frac {\overline {A'P'}}{\overline {P'B'}}}$ = ${\frac {1,4cm}{3cm}}$ = 0,47 (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)

Wie erklärt sich die Gleichheit in Punkt 3 aus der vorherigen Aufgabe?

Warum ist das Längenverhältnis von ${\overline {AP}}$ und ${\overline {PB}}$ gleich dem Längenverhältnis der Bildstrecken?

Warum ist ${{\overline {AP}} \over {\overline {PB}}}$ = ${{\overline {A'P'}} \over {\overline {P'B'}}}$?

Finde die Antwort auf die Frage!

Für ${\overline {A'P'}}$ kann man auch $\mid k\mid \cdot {\overline {AP}}$ und für ${\overline {P'B'}}$ kann man $\mid k\mid \cdot {\overline {PB}}$ einsetzen.
Daraus folgt: ${{\overline {A'P'}} \over {\overline {P'B'}}}={{|k|} \over {|k|}}\cdot$ ${{\overline {AP}} \over {\overline {PB}}}$.
$\mid k\mid$ kann man rauskürzen, so dass ${{\overline {A'P'}} \over {\overline {P'B'}}}$ $={{\overline {AP}} \over {\overline {PB}}}$ gilt.

Gelten die Überlegungen für alle Strecken?

Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu? (Ja) (!Nein)

Kreistreue