Zentrische Streckung/Eigenschaften der zentrischen Streckung: Unterschied zwischen den Versionen

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__NOTOC__
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{{Lernpfad-M|
{{Box|1=Eigenschaften der zentrischen Streckung|2=
===Eigenschaften der zentrischen Streckung===
[[Bild:Porzelt_Eigenschaften.jpg|right|300px]]
}}
In diesem Lernpfad durchläufst du 7 Stationen. Unten siehst du eine Übersicht aller Stationen.
<br>
|3=Lernpfad}}
[[Bild:Porzelt_Eigenschaften.jpg|center]]
 
<br>
 
{{Eigenschaften der zentrischen Streckung}}


==1. Station: Fixelemente==
==1. Station: Fixelemente==
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:Für k<math>\not=</math>1 gilt:
:Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird.
</div>
<br>
:'''Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.'''
<br>
[[Bild:Porzelt_Fixgerade.jpg]]
<br>
:Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
:{{Lösung versteckt|1=
:f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.}}
:Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:
:{{Versteckt|1=
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:Alle Geraden die durch den Punkt Z verlaufen sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen
:Streckung auf sich selbst abgebildet.
</div>
}}
<br>


==2. Station: Geradentreue und Parallelentreue==
{{Box|1=Fixpunkt|2=
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
Für <math>k \not= 1</math> gilt:
*'''Geradentreue''' bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|right]]
*'''Parallelentreue''' liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird.  
</div>
|3=Merksatz}}
<br>
 
:Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
 
:auf den Punkt P' abgebildet.
{{Box|1=Zentrische Streckung um den Faktor k|2=
:Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt. Was stellst du fest?
 
:Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.
Strecke die Gerade g, die Punkte A, B und C zentrisch um den Faktor k und ordne im nachstehenden Text den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:'''''<br>
<ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Geradentreue.ggb" />
 
<br>
<ggb_applet height="300" width="600" showResetIcon="true" id="xahnptv7" />


==3. Station: Längentreue, Winkeltreue und Flächeninhaltstreue==
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
*'''Längentreue''' bedeutet, wenn alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
*Ebenso gilt für die '''Winkeltreue''', wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
*'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
</div>
<br>
:In diesem Applet siehst du ein zentrisch gestrecktes Dreieck. Lass dir das Winkelmaß, die Streckenlängen und
:den Flächeninhalt nacheinander anzeigen. Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaft zutrifft.
<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" />
<br>


:Durch Umformung kannst du herausfinden, wie der Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks zu berechnen ist.
:Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
Der Punkt A wird auf den Punkt '''A'''' abgebildet, so wie der Punkt B auf Punkt '''B'''' und Punkt C auf Punkt '''C''''. Alle Punkte verlaufen auf einer '''Geraden'''. Die Gerade g wird auf die Gerade '''g'''' abgebildet.<br> Geometrisch bedeutet dies: g '''=''' g'.
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> ∙ h' <br>
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>''' '''|k|''' '''h''' <br>
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>'''
</div>
</div>
<br>
|3=Arbeitsmethode}}
 


==4. Station: Längenverhältnistreue==
{{Box|1=Info von Panto|2=
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
Panto will auch etwas dazu sagen.
:'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
 
</div>
[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|right]]
<br>


==5. Station: Kreistreue==
Alle Geraden, die durch den Punkt Z verlaufen, sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
Streckung auf sich selbst abgebildet.
:'''Kreistreue''' bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
|3=Kurzinfo}}
</div>
<br>
:Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch strecken. Finde heraus, ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
<ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" />


==6. Station: Zusammenfassung==
{{Fortsetzung|weiter=Geradentreue und Parallelentreue|weiterlink=/2.Station}}
:Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
<div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
[[Kategorie:Lernpfad]]
'''Eigenschaften der zentrischen Streckung'''<br>
[[Kategorie:Zentrische Streckung]]
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine '''Fixgerade'''. <br>
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist '''parallelentreu'''.<br>
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also '''nicht''' längentreu. <br>
Jedoch ist sie '''längenverhältnistreu'''. <br>
Die zentrische Streckung ist '''geradentreu''', '''winkeltreu''' und '''kreistreu'''. <br>
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das '''|k|²-fache''' des Flächeninhalts der Urfigur. ('''A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = |k|² ∙ A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''') <br>
Die zentrische Streckung ist deshalb '''nicht''' flächeninhaltstreu.
</div>


==7. Station: Übung==
{{TODO| MathML einsetzen}}

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 15:57 Uhr

Eigenschaften der zentrischen Streckung
Porzelt Eigenschaften.jpg
In diesem Lernpfad durchläufst du 7 Stationen. Unten siehst du eine Übersicht aller Stationen.


1. Station: Fixelemente

Fixpunkt

Für gilt:

Porzelt Panto-2.jpg
Das Streckungszentrum Z ist Fixpunkt, da es immer auf sich selbst abgebildet wird.


Zentrische Streckung um den Faktor k

Strecke die Gerade g, die Punkte A, B und C zentrisch um den Faktor k und ordne im nachstehenden Text den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:

GeoGebra


Der Punkt A wird auf den Punkt A' abgebildet, so wie der Punkt B auf Punkt B' und Punkt C auf Punkt C'. Alle Punkte verlaufen auf einer Geraden. Die Gerade g wird auf die Gerade g' abgebildet.
Geometrisch bedeutet dies: g = g'.


Info von Panto

Panto will auch etwas dazu sagen.

Porzelt Panto-2.jpg

Alle Geraden, die durch den Punkt Z verlaufen, sind Fixgeraden. Sie werden bei einer zentrischen

Streckung auf sich selbst abgebildet.