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{{Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}
{{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />
==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==
==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==
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Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) [[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png]]
Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) <br>
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}{{Box|Übung 1: Wertetabelle erstellen|Bearbeite im Buch S. 141 Nr. 2 links und rechts.|Üben
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}
}}{{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
{{Box|1=Übung 1: Wertetabelle erstellen|2=Erstelle eine Wertetabelle zu
* f(x) = 2,5x
* f(x) = -2x - 1|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
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===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===
===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===
{{Box|Lineare Funktionen erkennen - Bootsverleih|[[Datei:Boat-307125 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Aufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
a) Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?<br>
{{Box|Bootsverleih- Aufagbe 1|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
b) Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?|Meinung
Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.
}}Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
Kann das sein?|Meinung}}<br>
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5
geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5
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ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist. [[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage
}}Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?
{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?
(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
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Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.
Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.
Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>{{Box|Punktprobe
Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>
| 3 = Merksatz
<br>
}}{{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben
<br>
}}{{LearningApp
{{Box|Punktprobe| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.| 3 = Merksatz}}
| app = ppkr9n4sj20
| width = 100%
{{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===
===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===
{{Box|Lineare Funktionen erkennen - Bootsverleih|[[Datei:Boat-307125 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Aufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?|Meinung
{{Box|Bootsverleih - Aufgabe 2|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
}}Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. <br>
a) Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?|Meinung}}
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.
'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''
'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''
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Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
<br /><div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben
<br />
}}{{LearningApp
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>
| app = pz6auqgia20
<br>
| width = 100%
{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}
}}{{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse nun S. 137 Nr. 8 und 9.|Üben
}}{{Lösung versteckt|Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun entweder x oder y in die Gleichung ein und berechne den fehlenden Wert.|Tipp zu Nr. 8|Tipp ausblenden}}{{Lösung versteckt|Hier findest du die Lösungen <u>bunt gemischt</u>: <br>
{{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* fehlende y-Koordinate: -2; 7; 3|Lösung zu Nr. 8|Lösung ausblenden}}{{Lösung versteckt|1=Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun die entsprechenden Werte für x und y in die Gleichung ein. <br>
* Erhältst du eine <u>wahre</u> Aussage, z.B. 5 = 5, so liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen. <br>
* Erhältst du eine <u>falsche</u> Aussage, z.B. 5 = 8, so liegt der Punkt <u>nicht</u> auf dem Funktionsgraphen.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Tipp ausblenden}}{{Lösung versteckt|Hier findest du die Lösungen: (nicht in der richtigen Reihenfolge) <br>
* Punkt A liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
* Punkt B liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
* Punkt C liegt zweimal auf dem Graphen, einmal nicht.|Lösungzu Nr. 9|Lösung ausblenden}}{{Box|Übung 5: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Bearbeite die Übungen auf den folgenden Seiten:
===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===
===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===
{{Box|Übung 6: Aufstellen der Funktionsgleichung|Löse S. 130 Nr. 9 (zeichnerisch UND rechnerisch) und S. 131 Nr. 13. Gegeben ist ein Punkt und die Steigung bzw. der y-Achsenabschnitt b. Wie kannst du vorgehen?|Üben
}}{{Lösung versteckt|1=Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
{{Box|1=Übung 5: Aufstellen der Funktionsgleichung|2=Bestimme die Funktionsgleichung.<br>
Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Zu Nr. 9: Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
Die Gerade verläuft parallel zu f(x) = 2x + 1 und geht durch P(1|5).|3=Üben}}
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 2x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 2 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(1|5) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />
===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===
===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===
{{Box|Lineare Funktionen erkennen - Pool|[[Datei:Smartphone-2953932 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]] Aufgabe 3: Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung
{{Box|Pool - Aufgabe 3|[[Datei:Smartphone-g0b5325198 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.<br>
}}{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung}}
| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.
{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}
<br>
{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.
P<sub>y</sub> (0|b)
P<sub>y</sub> (0|b)
Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (x<sub>N</sub>I0)
N (x<sub>N</sub>I0)| 3 = Merksatz}}
| 3 = Merksatz
}}[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]{{LearningApp
[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]
| app = pu8028csj20
| width = 100%
| height = 400px
}}{{Box|Übung 7: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|Löse S. 137 Nr. 7|Üben
}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0
y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4
{{Box|1=Übung 6: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.<br>
a) f(x) = -x+4<br>
b) f(x) = -0,5x + 5<br>
c) f(x) = <math>\tfrac{3}{2}</math>x + 3|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0 <br>
y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4 <br>
Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu c)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 0.25x-2.png]]|Funktionsgraph zu 7d)|Verbergen}}|Tipps zu S. 137 Nr. 7|Verbergen}}
|Tipps|Verbergen}}
{{Fortsetzung|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen}}
{{Fortsetzung|vorher=2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung und Funktionsgraph|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Anwendungen}}
2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung
Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.
Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.
Kann das sein?
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5
ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
Punktprobe
Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.
Gegeben ist die Funktionsgleichung y = 2x + 5. Liegt der Punkt A(3|10) auf dem Graphen der Funktion?
(Hier ist es leichter y statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.
y= 2x + 5 A(3|10)
10 = 2·3 + 5
10 = 6 + 5
10 = 11 (f)
Es ergibt sich eine falsche Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also liegt der Punkt nicht auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(4|13) auf der Geraden liegt:
Punktprobe:
y = 2x + 5 B(4|13)
13 = 2·4 + 5
13 = 8 + 5
13 = 13 (w)
Es ergibt sich eine wahre Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also liegt der Punkt auf dem Graphen.
Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.
Übung 2: Punktprobe
Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.
Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen
Bootsverleih - Aufgabe 2
Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden.
a) Wie viel müssen sie bezahlen?
b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.
1. Möglichkeit: x-Koordinate ist gegeben
geg: x = 1,5 und f(x) = 2x+5
ges: zugehöriger y-Wert
Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2x + 5
y = 2·1,5 + 5
= 3 + 5
= 8 P(1,5|8)
Sie müssen 8€ bezahlen.
2. Möglichkeit: y-Koordinate ist gegeben:
Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
geg: y = 10 und f(x) = 2x+5
ges: zugehörige x-Koordinate
Setze die y-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:
Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben
Übung 5: Aufstellen der Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung.
Die Gerade verläuft parallel zu f(x) = 2x + 1 und geht durch P(1|5).
Wenn die Gerade parallel zur Geraden von f(x)= 2x + 1 verläuft, haben die Geraden dieselbe Steigung! Also ist m = 2 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(1|5) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.
Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?
Für den Schnittpunkt Py mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.
Py (0|b)
Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (xNI0)
Übung 6: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
a) f(x) = -x+4
b) f(x) = -0,5x + 5
c) f(x) = x + 3
Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0
y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4
Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?
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