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Kapitelübersicht

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Lernschritt Eigenschaften der Normalparabel

In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die eine quadratische Funktion $f(x) = x^2$, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen jeder beliebigen quadratischen Funktion, also alle Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.

• In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.
• Du lernst einige graphische Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie rechnerisch begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.
• Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der Quadratwurzel einer Zahl versteht (und was nicht).

Die Normalparabel ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$. (Was eine Funktion im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite Funktionen ausführlich erklärt.) Jetzt soll untersucht werden, wie die Normalparabel aussieht und wie sie entsteht. Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, erstellt man üblicherweise eine Wertetabelle, in der man einer Reihe von x-Werten die jeweils dazugehörigen y-Werte gegenüberstellt, die mithilfe der Funktionsvorschrift, in diesem Fall $f(x) = x^2$, berechnet werden können. Anschließend zeichnet man die Wertepaare $(x | y)$ aus der Tabelle als Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Im Fall der Funktion $f(x) = x^2$ könnte eine solche Wertetabelle z.B. so aussehen:

Wertetabelle

Tabelle 1: $f(x)=x^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	9	4	1	0	1	4	9

In der Tabelle 1 wurden als x-Werte ganze Zahlen verwendet. Im Prinzip können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte gewählt werden.

Aus dieser Tabelle 1 kann man ablesen, dass die Punkte $A(-3|9)$, $B(-2|4)$, $C(-1|1)$, $D(0|0)$, $E(1|1)$, $F(2|4)$ und $G(3|9)$ zum Graphen der Funktion $f(x)=x^2$ gehören. Aber wie sieht der Graph zwischen diesen Punkten aus?

Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form $y = m \cdot x +b$ besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf der gleichen Geraden liegen. Das ist bei der Funktion $f(x) =x^2$ offensichtlich nicht so. Aber wie ist es dann? Kann man die Punkte $A$ bis $G$ aus der Tabelle 1 etwa von Punkt zu Punkt gradlinig durch Strecken verbinden? Oder verläuft der Graph zwischen den Punkten gekrümmt? Um dies herauszufinden, erweitern wir die Tabelle 1 um weitere Wertepaare.

1. Aufgabe (Erkunden) - Erweiterung der Wertetabelle

Übertrage die Tabelle 2 für die Funktion $f(x)=x^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie für positive x-Werte. Runde auf zwei Stellen hinter dem Komma.

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25		0,75	1,25		1,75	2,25
f(x)		0,25			2,25			6,25

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25	0,5	0,75	1,25	1,5	1,75	2,25	2,5
f(x)	0,06	0,25	0,56	1,56	2,25	3,06	5,06	6,25

Funktionsgraph

2. Aufgabe (Erkunden) - Aussehen und Eigenschaften der Normalparabel

• Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 in deinem Arbeitsheft als Punkte in ein Koordinatensystem.
• Füge einige beliebige weitere Punkte hinzu - z.B. die entsprechenden Punkte links von der y-Achse.
• Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ aus - also die Menge aller Punkte $P(x | x^2)$ im Koordinatensystem?
• Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen.

Auswertung der Ergebnisse

QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf
Punkte $(x | x^2)$ aus den Wertetabellen 1 und 2

Die Abbildung legt verschiedene Aussagen nahe, z.B.

• Je mehr Punkte $(x|x^2)$ man berechnet und im Koordinatensystem einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte zu einer durchgehenden, gekrümmten Linie.
• Der Graph geht durch den Koordinatenursprung und verläuft ansonsten ausschließlich im 1. und 2. Quadranten.
• Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.
• Im Ursprung hat die Normalparabel ihren tiefsten Punkt. (Dies ist ihr so genannter "Scheitelpunkt".)
• Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er.
• Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.