Integralrechnung/Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion

Wir wollen nun die Flächeninhaltsfunktion $F(x)$ zu einer gegebenen Funktion $f(x)$ bestimmen. Dies wollen wir aber nicht durch Einschachtelung mit Ober- und Untersumme tun, da dies hier zu umständlich wäre.

Stattdessen werden wir wieder die Vorteile von Geogebra nutzen. Im Folgenden sollst Du wieder mit Hilfe eines Applets zu gegebenen Funktionen $f(x)$ die Funktionsgraphen der jeweils gesuchten Flächeninhaltsfunktion zeichnen lassen.

Anhand der gefundenen Funktionen $F(x)$ sollst Du dann evtl. innerhalb einer Gruppe die Funktionsvorschriften von $f(x)$ und $F(x)$ jeweils einander gegenüberstellen und versuchen, einen Zusammenhang zwischen beiden zu entdecken.

Aufgabe 8

In unterem Geogebra-Applet siehst Du den Graphen der Funktion $f(x)=x^2$ in blau gezeichnet und denjenigen der zugehörigen Flächeninhaltsfunktion in rot.

Gib nun die Funktionsvorschrift einer neuen Funktion $f(x)$ in der Eingabezeile des Geogebra-Applets ein, der Graph der neuen Flächeninhaltsfunktion wird automatisch gezeichnet und die Funktionsvorschrift angezeigt.

Notiere Dir so lange in einer tabellarischen Gegenüberstellung die Funktionsterme von $f(x)$ und $F(x)$ bis Du einen Zusammenhang erkennst. Welchen?

1. $f(x) = 7x$
2. $f(x) = 3x^5 + 4$
3. $f(x) = x^2 - 3x + 2$
4. $f(x) = 8$
5. $f(x) = 0$
6. $f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 2$
7. Denke Dir weitere Funktionen selbst aus!

TIPP: Wenn Dir die Kommazahlen, die Geogebra anzeigt, Schwierigkeiten bereiten, dann schreibe sie in naheliegende Brüche um!

1. $F(x) = \frac{7}{2} \ x^2$
2. $F(x) = \frac{1}{2} \ x^6 + 4x$
3. $F(x) = \frac{1}{3} \ x^3 - \frac{3}{2} \ x^2 + 2 x$
4. $F(x) = 8 x$
5. $F(x) = 0$
6. $F(x) = \frac{1}{5} \ x^5 - \frac{3}{4} \ x^4 + \frac{2}{3} \ x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 2 x$

Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion ist jeweils gleich der Ausgangsfunktion $f(x)$. Es gilt: $F \ '(x)= f(x)$.

Stammfunktion