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Integralrechnung/Aufgaben

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Aufgabe 4

Bestimme jeweils eine Stammfunktion $F (x)$ zu folgenden Funktionen $f (x)$ durch umgekehrte Differentiation.

$f (x) = x^{2}$
$f (x) = x^{3}$
$f (x) = 3 x$
$f (x) = x^{5}$
$f (x) = 5 x^{2}$
$f (x) = x^{4}$
$f (x) = 2$
$f (t) = 2 t^{5}$
$f (x) = \frac{2}{5 x^{2}}$
$f (x) = \cos (3 x)$ (nur Lk)
$f (x) = x + 2 \sin (2 x)$ (nur Lk)
$f (x) = e^{x}$
$f (x) = e^{- x}$
$f (x) = 2 \cdot e^{x}$
$f (x) = e^{- 3 x}$
$f (x) = \frac{1}{3} e^{x + 5}$
$f (x) = 1 + e^{\frac{1}{2} x}$
$f (x) = \frac{5}{2} e^{2 x - 2}$

Die allgemeinen Lösungen lauten:

$F (x) = \frac{1}{3} \cdot x^{3}$
$F (x) = \frac{1}{4} \cdot x^{4}$
$F (x) = \frac{3}{2} \cdot x^{2}$
$F (x) = \frac{1}{6} \cdot x^{6}$
$F (x) = \frac{5}{3} \cdot x^{3}$
$F (x) = \frac{1}{5} \cdot x^{5}$
$F (x) = 2 x$
$F (t) = \frac{1}{3} \cdot t^{6}$
$F (x) = - \frac{2}{5} x^{- 1} = - \frac{2}{5 x}$
$F (x) = \frac{1}{3} \sin (3 x)$
$F (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{2} - \cos (2 x)$
$F (x) = e^{x}$
$F (x) = - e^{- x}$
$F (x) = 2 \cdot e^{x}$
$F (x) = - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x}$
$F (x) = \frac{1}{3} e^{x + 5}$
$F (x) = x + 2 e^{\frac{1}{2} x}$
$F (x) = \frac{5}{4} e^{2 x - 2}$

Frage

Wie lautet die (allgemeine) Stammfunktion zur allgemeinen Potenzfunktion $f (x) = a \cdot x^{n}$ ?

F (x) = \frac{a}{n + 1} \cdot x^{n + 1} + c

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