Integralrechnung/Aufgaben II

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Beispiel

Das Integral $\int\limits_1^4 x^2 \ \mathrm{d}x$ berechnet sich mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung wie folgt:

$\int\limits_1^4 x^2 \ \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_1^4 = \frac{1}{3} \cdot 4^3 - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = 21$.

Aufgabe 17

Berechne das bestimmte Integral!

1. $\int\limits_2^5 \frac{2}{3}x \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_1^3 \sqrt{5} \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_4^5 2x^2 \ \mathrm{d}x$
2. $\int\limits_3^7 2 \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_2^5 1 \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_2^4 0 \ \mathrm{d}x$
3. $\int\limits_3^8 \frac{1}{\sqrt{x}}x \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_1^2 \frac{5}{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_4^9 \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \ \mathrm{d}x$

1. $7; \quad 2 \sqrt{5}; \quad \frac{122}{3}$
2. $8; \quad 3; \quad 0$
3. $11,62; \quad 10 \sqrt{2} - 10; \quad 1$

Aufgabe 18

Berechne das Integral.

1. $\int\limits_0^3 (2x^3 + 3x - 2) \ \mathrm{d}x$
2. $\int\limits_1^2 \frac{1 + 3x^2}{5} \ \mathrm{d}x$
3. $\int\limits_1^3 \frac{3x^2 - 7\sqrt{x}}{x} \ \mathrm{d}x$

1. $48$
2. $\frac{8}{5}$
3. $26 - 14 \sqrt{3}$

Aufgabe 19

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse.

1. $f(x) = -x^3 + x$
2. $f(x) = 4 x^2 - 3$
3. $f(x) = (x^2 - 16)(x^2 + 3)$

1. Es ergeben sich die Nullstellen -1, 0 und 1. Damit müssen zwei Integrale ausgewertet werden. Diese erstrecken sich von der ersten bis zur zweiten Nullstelle sowie von der zweiten bis zur dritten. Insgesamt ergibt sich der Wert für die Fläche aus den Beträgen der einzelnen Integrale zu $\frac{1}{2}$. Nach der Regel zur Intervalladditivität könnte auch ein einzelnes Integral von der niedrigsten bis zur höchsten Nullstelle betrachtet werden, wenn nach dem Wert des Integrals gefragt wäre. Jedoch ist nach der Fläche gefragt. Deshalb müssen die Beträge der Integrale einzeln betrachtet werden!!! Vergleiche dazu den Wert des Integrals in denselben Grenzen, er ist 0.
2. Nullstellen: $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ und $- \frac{1}{2}\sqrt{3}$. Der Flächeninhalt hat den Wert $2 \sqrt{3}$.
3. Nullstellen: 4 und -4. Der Flächeninhalt hat den Wert $\frac{7936}{15}$.

Bemerkung: Hier gibt es nur positive Ergebnisse, da die Beträge der Integrale auszuwerten sind, denn es waren ja die Flächen gefragt und nicht die Integrale!