Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Versionen
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== Verschiebung in y-Richtung == | ==Verschiebung in y-Richtung== | ||
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Aktuelle Version vom 10. Oktober 2024, 17:28 Uhr
In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
- herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
- entdecken, welche Parameter es in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen gibt.
Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.
Quadratische Funktionen verändern
Wenn du dir die Bilder von der Seite Quadratische Funktionen im Alltag noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x2) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.
Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.
Video: DLR Parabelflüge
Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der Broschüre
des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 (31) angucken.
Strecken, Stauchen und Spiegeln
Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel die Parameter der Normalform. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt "Verschiebung in x-Richtung".
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) .
Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:
- (1) , (2) und (3) ?
a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.
In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
Knobelaufgabe
Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. (mit a≠0) ergibt demnach für:
a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.
-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.
Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.
Verschiebung in x-Richtung
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) .
Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:
- (1) (2) ?
a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) .
Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären.
a) Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen.
b) Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion .
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für gilt:
d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
Verschiebung in y-Richtung
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) .
Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:
- (1) (2) ?
a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7-8) .
Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme.
a) Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für drei der quadratischen Funktionen:
b) Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion ? Formuliere einen Tipp.
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:
e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte
Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind, noch einmal gesammelt dargestellt.
Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. (mit a≠0) ergibt demnach für:
a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.
-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.
Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für gilt:
d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:
e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
Die auf dieser Seite gewonnenen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktionen der Form . Diese Form heißt Scheitelpunktform, da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel angeben.
Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.
Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)