Quadratische Funktionen erforschen/Die Normalform: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Quadratische Funktionen erforschen}} | {{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erforschen}}}} | ||
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|In diesem Kapitel wirst du Experte für die '''Normalform''' quadratischer Funktionen. Bisher hast du quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform kennengelernt. In Anwendungen wird jedoch häufig diese '''andere Variante''' quadratischer Funktionen genutzt. In diesem Kapitel | |||
#lernst du eine Anwendungsbeispiel aus der Fahrschule kennen, | |||
#erfährst, wie Terme quadratischer Funktionen in Normalform aussehen und | |||
#du lernst in einem Quiz und einer Partnerarbeit Eigenschaften und Besonderheiten der Normalform näher kennen. | |||
|Kurzinfo | |||
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| | |Aufgabe 1 | ||
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 13) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |||
[[Datei:Anhalteweg.png|rahmenlos|zentriert|500px|Skizze Anhalteweg]] | |||
In der [https://www.jungesportal.de/fuehrerschein/faustformeln-fuer-die-theorie.php Fahrschule] lernt man eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Faustregel Faustformel] zur Berechnung des '''Bremsweges''' eines Autos kennen. Sie lautet „Geschwindigkeit durch 10 Mal Geschwindigkeit durch 10“ – in Termen ausgedrückt (mit v für Geschwindigkeit): | |||
<math> f(v) \approx \frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10} </math>. | |||
Für den tatsächlichen Anhalteweg muss jedoch auch noch der '''Reaktionsweg''' des Fahrers beachtet werden. Durch ihn wird ein Weg von annähernd „drei Mal die Geschwindigkeit durch 10“ zurückgelegt und der zugehörige Term lautet: | |||
<math> f(v) \approx \frac{3 \cdot v}{10} </math>. | |||
Kombiniert man Bremsweg und Reaktionsweg, so lässt sich näherungsweies der '''Anhalteweg''' eines PKW bestimmen. Die zusammengesetzte Formel lautet: | |||
<math>f(v)\approx\frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10}+\frac{3 \cdot v}{10}=\frac{v^2}{100}+\frac{3 \cdot v}{10}</math> | |||
<math>f(v)\approx\frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10}+\frac{3 \cdot v}{10}=\frac{v^2}{100}+\frac{3 \cdot v}{10}</math>. | |||
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Zur Kontrolle kannst du das folgende Applet benutzen: | Zur Kontrolle kannst du das folgende Applet benutzen: | ||
{{LearningApp|app=ppixrfhoj17|width=100%|height=250px}} | |||
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in deinen Hefter und beschreibe seinen Verlauf in wenigen Sätzen. | '''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in deinen Hefter und beschreibe seinen Verlauf in wenigen Sätzen. | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Anhalteweg Graph.PNG|rahmenlos|500px|Anhalteweg eines PKW]] | |||
Eine mögliche Beschreibung ist: | Eine mögliche Beschreibung ist: | ||
Der Graph zeigt nur die positiven Werte der (quadratischen) Funktion für den Anhalteweg, da der Kontext keine sinnvolle Beschreibung negativer Werte erlaubt. Der Anhalteweg verlängert sich deutlich mit zunehmender Geschwindigkeit, das heißt der Graph steigt rasch an, was charakteristisch für quadratische Funktionen mit positivem Paramter a (hier a=1) ist. | |||
Der Graph zeigt nur die positiven Werte der (quadratischen) Funktion für den Anhalteweg, da der Kontext keine sinnvolle Beschreibung negativer Werte erlaubt. Der Anhalteweg verlängert sich deutlich mit zunehmender Geschwindigkeit, das heißt der Graph steigt rasch an, was charakteristisch für quadratische Funktionen mit positivem Paramter <math>a</math> (hier <math>a=1</math>) ist.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verstecken}} | |||
|Arbeitsmethode | |||
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|Aufgabe 2 | |||
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 5)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |||
'''a)''' Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. | '''a)''' Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. | ||
'''b)''' Als Beispiel ist der Funktionsterm <math>y=-x^2+2x+3</math> einer | '''b)''' Als Beispiel ist bei dem Merksatz im Hefter der Funktionsterm <math>y=-x^2+2x+3</math> einer quadratischen Funktion in Normalform gegeben. Skizziere den zugehörigen Graphen in das Koordinatensystem. | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:NF Aufg2-Lösung.png|rahmenlos|300px|Lernpfade QF erkunden/erforschen, Kapitel NF]]|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
{{Merke | |Arbeitsmethode | ||
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|Merke | |||
|Terme quadratischer Funktionen können in der Form '''<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>''' (mit <math>a\neq0</math>) beschrieben werden. Diese Darstellungsform nennt man '''Normalform'''. In der Normalform quadratischer Funktionen kann der '''y-Achsenabschnitt <math>c</math>''' direkt abgelesen werden. | |||
|Merksatz | |||
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{{ | {{Box | ||
Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Tabelle) quadratischer Funktionen. | |Aufgabe 3 | ||
|Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Tabelle) quadratischer Funktionen. | |||
Löse das folgende Quiz, indem du immer zwei Karten zu einem Paar zusammenfügst. | Löse das folgende Quiz, indem du immer zwei Karten zu einem Paar zusammenfügst. | ||
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|Arbeitsmethode | |||
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{{ | {{Box | ||
|Aufgabe 4 | |||
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 14) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]][[Datei:Puzzle-1020221_640.jpg|rahmenlos|80x80px]]. | |||
'''a)''' Finde Werte für a, b und c, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter | '''a)''' Finde Werte für a, b und c, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. | ||
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{{Lösung versteckt|1=Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben. | |||
{{{!}} class="wikitable" | |||
{{!}}- | |||
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben. | |||
{ | |||
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter b !! Parameter c | ! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter b !! Parameter c | ||
{{!}}- | |||
{{!}} Angry Birds {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.13x^2+1.82x-1.52</math> {{!}}{{!}} -0.14 ≤ a ≤ -0.13 {{!}}{{!}} 1.82 ≤ b ≤ 1.95 {{!}}{{!}} -1.85 ≤ c ≤ -1.52 | |||
{{!}}- | |||
{{!}} Golden Gate Bridge {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.04x^2-0.46x+2.30</math> {{!}}{{!}} 0.03 ≤ a ≤ 0.05 {{!}}{{!}} -0.40 ≤ b ≤ -0.50 {{!}}{{!}} 2.05 ≤ c ≤ 2.30 | |||
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{{!}} Springbrunnen {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.33x^2+3.20x-2.46</math> {{!}}{{!}} -0.40 ≤ a ≤ -0.30 {{!}}{{!}} 3.15 ≤ b ≤ 3.35 {{!}}{{!}} -2.95 ≤ c ≤ -2.45 | |||
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{{!}} Gebirgsformation {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.2x^2+2.16x-3.53</math> {{!}}{{!}} -0.30 ≤ a ≤ -0.15 {{!}}{{!}} 1.55 ≤ b ≤ 3.30 {{!}}{{!}} -6.35 ≤ c ≤ -1.70 | |||
{{!}}- | |||
{{!}} Motorrad-Stunt {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.07x^2+1.08x+1.79</math> {{!}}{{!}} -0.10 ≤ a ≤ -0.04 {{!}}{{!}} 0.85 ≤ b ≤ 1.30 {{!}}{{!}} 0.95 ≤ c ≤ 1.79 | |||
{{!}}- | |||
{{!}} Basketball {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.32x^2+4.16x-7.07</math> {{!}}{{!}} -0.35 ≤ a ≤ -0.29 {{!}}{{!}} 3.80 ≤ b ≤ 4.40 {{!}}{{!}} -7.40 ≤ c ≤ -6.10 | |||
|} | {{!}}} | ||
|2=Lösungsvorschläge anzeigen|3=Lösungsvorschläge verbergen}} | |||
'''b)''' Vielleicht ist dir aufgefallen, dass diese Aufgabe so ähnlich in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] auftaucht (S. 9). Vergleiche deine Ergebnisse aus beiden Aufgaben. Wo siehst du Parallelen und was ist anders? Notiere deine Überlegungen. | |||
'''c)''' Vergleiche deine Erkenntnisse aus Aufgabe b) mit den Ergebnissen deines Partners. Fasst eure Erkenntnisse gemeinsam in wenigen Sätzen zusammen. | |||
|Arbeitsmethode | |||
'''c)''' Vergleiche deine Erkenntnisse aus Aufgabe b) mit den Ergebnissen deines Partners. Fasst eure Erkenntnisse gemeinsam in wenigen Sätzen zusammen.}} | }} | ||
{{Fortsetzung|weiter=Von der Scheitelpunkt- zur Normalform|weiterlink=Quadratische Funktionen erforschen/Von der Scheitelpunkt- zur Normalform}} | |||
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) | |||
[[ | [[Kategorie:Quadratische Funktion]] | ||
[[Kategorie:Interaktive Übung]] | |||
[[Kategorie:LearningApps]] | |||
[[Kategorie:GeoGebra]] | |||
Aktuelle Version vom 30. März 2022, 21:32 Uhr
In diesem Kapitel wirst du Experte für die Normalform quadratischer Funktionen. Bisher hast du quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform kennengelernt. In Anwendungen wird jedoch häufig diese andere Variante quadratischer Funktionen genutzt. In diesem Kapitel
- lernst du eine Anwendungsbeispiel aus der Fahrschule kennen,
- erfährst, wie Terme quadratischer Funktionen in Normalform aussehen und
- du lernst in einem Quiz und einer Partnerarbeit Eigenschaften und Besonderheiten der Normalform näher kennen.
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 13) .
In der Fahrschule lernt man eine Faustformel zur Berechnung des Bremsweges eines Autos kennen. Sie lautet „Geschwindigkeit durch 10 Mal Geschwindigkeit durch 10“ – in Termen ausgedrückt (mit v für Geschwindigkeit):
.
Für den tatsächlichen Anhalteweg muss jedoch auch noch der Reaktionsweg des Fahrers beachtet werden. Durch ihn wird ein Weg von annähernd „drei Mal die Geschwindigkeit durch 10“ zurückgelegt und der zugehörige Term lautet:
.
Kombiniert man Bremsweg und Reaktionsweg, so lässt sich näherungsweies der Anhalteweg eines PKW bestimmen. Die zusammengesetzte Formel lautet:
.
a) Berechne den Anhalteweg für die Geschwindigkeiten: 30 km/h, 50 km/h und 70 km/h und 100 km/h. Trage deine Ergebnisse in die Tabelle in deinem Hefter ein.
Zur Kontrolle kannst du das folgende Applet benutzen:
b) Zeichne den zugehörigen Graphen in deinen Hefter und beschreibe seinen Verlauf in wenigen Sätzen.
Eine mögliche Beschreibung ist:
Der Graph zeigt nur die positiven Werte der (quadratischen) Funktion für den Anhalteweg, da der Kontext keine sinnvolle Beschreibung negativer Werte erlaubt. Der Anhalteweg verlängert sich deutlich mit zunehmender Geschwindigkeit, das heißt der Graph steigt rasch an, was charakteristisch für quadratische Funktionen mit positivem Paramter (hier ) ist.
Terme quadratischer Funktionen können in der Form (mit ) beschrieben werden. Diese Darstellungsform nennt man Normalform. In der Normalform quadratischer Funktionen kann der y-Achsenabschnitt direkt abgelesen werden.
Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Tabelle) quadratischer Funktionen.
Löse das folgende Quiz, indem du immer zwei Karten zu einem Paar zusammenfügst.
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 14) und einen Partner .
a) Finde Werte für a, b und c, so dass die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter.
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.
Hintergrundbild | Lösungsvorschlag | Parameter a | Parameter b | Parameter c |
---|---|---|---|---|
Angry Birds | -0.14 ≤ a ≤ -0.13 | 1.82 ≤ b ≤ 1.95 | -1.85 ≤ c ≤ -1.52 | |
Golden Gate Bridge | 0.03 ≤ a ≤ 0.05 | -0.40 ≤ b ≤ -0.50 | 2.05 ≤ c ≤ 2.30 | |
Springbrunnen | -0.40 ≤ a ≤ -0.30 | 3.15 ≤ b ≤ 3.35 | -2.95 ≤ c ≤ -2.45 | |
Elbphilharmonie (Bogen links) | 0.33 ≤ a ≤ 0.47 | 1.80 ≤ b ≤ 2.00 | 6.35 ≤ c ≤ 6.85 | |
Elbphilharmonie (Bogen mitte) | 0.30 ≤ a ≤ 0.36 | -4.10 ≤ b ≤ -3.60 | 13.65 ≤ c ≤ 14.95 | |
Elbphilharmonie (Bogen rechts) | 0.18 ≤ a ≤ 0.27 | -3.40 ≤ b ≤ -5.05 | 19.70 ≤ c ≤ 27.20 | |
Gebirgsformation | -0.30 ≤ a ≤ -0.15 | 1.55 ≤ b ≤ 3.30 | -6.35 ≤ c ≤ -1.70 | |
Motorrad-Stunt | -0.10 ≤ a ≤ -0.04 | 0.85 ≤ b ≤ 1.30 | 0.95 ≤ c ≤ 1.79 | |
Basketball | -0.35 ≤ a ≤ -0.29 | 3.80 ≤ b ≤ 4.40 | -7.40 ≤ c ≤ -6.10 |
b) Vielleicht ist dir aufgefallen, dass diese Aufgabe so ähnlich in dem Kapitel Scheitelpunktform auftaucht (S. 9). Vergleiche deine Ergebnisse aus beiden Aufgaben. Wo siehst du Parallelen und was ist anders? Notiere deine Überlegungen.
c) Vergleiche deine Erkenntnisse aus Aufgabe b) mit den Ergebnissen deines Partners. Fasst eure Erkenntnisse gemeinsam in wenigen Sätzen zusammen.
Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)