Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ereignis

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Weißt du noch? Absolute und relative Häufigkeiten
2. Einstiegsproblem: Die zufällige Shuffle-Funktion
3. Simulation der Shuffle-Funktion
4. Noch mehr Simulation zur Shuffle-Funktion
5. Abschluss des Einstiegsproblems
6. Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
   

• Zufallsexperiment
• Ergebnis und Ergebnismenge
• Ereignis
• Wahrscheinlichkeiten
• Laplace-Experiment
• Abschlusstest

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Was ist ein Ereignis?

Es gibt neben Ergebnis und Ergebnismenge auch noch Ereignisse, die sehr wichtig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind. Den Ereignissen werden später die Wahrscheinlichkeiten zugeordnet.

Ein Ereignis ist eine Möglichkeit, wie ein Zufallsexperiment ausgehen kann. Daher bestehen Ereignisse aus einem oder mehreren Ergebnissen des Zufallsexperiments. Ein Ereignis ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge.

Schreibweise:

Wir benennen ein Ereignis mit einem Großbuchstaben und schreiben dann die Definition des Ereignisses hin:

E: "Die Songs von Fiana Lovelace", in der Ereignismenge werden dann alle passende Ergebnisse gesammelt

E= {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Wicked madness}

Es gibt drei besondere Ereignisse:

Wenn ein Ereignis nur ein Ergebnis in der Menge enthält, dann nennt man es ein Elementarereignis.

Wenn ein Ereignis alle Ergebnisse enthält, dann nennt man es ein sicheres Ereignis.

Wenn ein Ereignis kein Ergebnis enthält, dann nennt man es ein unmögliches Ereignis.

Beispiele für Ereignisse

Die folgenden Beispiele sollen verdeutlichen, was Ereignisse nun wirklich sind. Denn so kompliziert ist das eigentlich gar nicht:

Bei der Shuffle Funktion kann man beispielsweise folgende Ereignisse festlegen:

• E1: "alle Lieder, die von Fiana Lovelace sind" : E1 = {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Wicked madness}
• E2: "alle Lieder, die mit R beginnen" : E2 = { } -> Dies ist ein unmögliches Ereignis
• E3: "alle Lieder, die nicht von Mr. Regret sind" : E3 = {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Summer of Lies, Turn up the Volume, I’m Insane, Wicked madness, Hard chance}
• es gibt noch viele Ereignisse, die man betrachten könnte. Je nachdem, was für den Betrachter des Zufallsexperiments interessant ist - es gibt da keine Grenzen!

Bei einem Würfelwurf könnte man folgende Ereignisse betrachten:

• E1: "Die Zahl liegt zwischen 1 und 6" : E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} -> Dies ist ein sicheres Ereignis
• E2: "Die Zahl ist 1 oder 2" : E2 = {1, 2}
• E3: "Die Zahl ist 4 " : E3 = {4} -> Dies ist ein Elementarereignis
• E4: "Die Zahl ist gerade und größer als 3" : E4 = {4, 6}

Es ist wichtig, dass es wirklich sehr viele Möglichkeiten gibt, Ereignisse zu einem bestimmten Zufallsexperiment zu definieren. Je nachdem, was man betrachten möchte, formuliert man ein passendes Ereignis und überlegt sich, welche Ergebnisse zu dem Ereignis passen.

Aufgaben

1. Ereignismengen bei bunten Experimenten

Schreibe die Ereignismengen zu den folgenden Ereignissen auf:

a) A: Bei einem Würfelwurf fällt eine ungerade Zahl

b) B: Beim Roulette wird kein schwarzes und kein rotes Feld getroffen

c) C: Alle möglichen Geburtstage einer Person, die im Monat Februar stattfinden und nach dem 29. Februar sind.

d) D: Aus einem Skat-Kartenspiel (32 Karten) wird eine Herz-Karte gezogen oder ein Ass gezogen

e) E: Beim Würfeln fällt nicht eine Zahl größer 3

a) A = {1, 3, 5}

b) B = {Null}

c) C = { }

d) D = {Herz-7, Herz-8, Herz-9, Herz-10, Herz-Bube, Herz-Dame, Herz-König, Herz-Ass, Karo-Ass, Pik-Ass, Kreuz-Ass}

e) E = {1, 2, 3}

2. Was kann hier hinter stecken?

Formuliere ein passendes Ereignis zu den folgenden Ereignismengen bei einem Würfelwurf auf:

a) A = {1, 2, 3}

b) B = {2, 4, 6}

c) C = {1, 3, 5}

d) D = {5, 6}

e) E = {6}

Achtung: Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen

a) A: "Es fällt eine Zahl kleiner 4"

b) B: "Es fällt eine gerade Zahl"

c) C: "Es fällt eine ungerade Zahl"

d) D: "Es fällt eine Zahl, die größer oder gleich 5 ist"

e) E: "Es fällt die Zahl 6"

3. Aus der Urne ziehen

Gegeben ist folgende Urne, die mit farbigen und nummerierten Kugeln gefüllt ist:

Als Zufallsexperiment zieht man eine Kugel aus der Urne. Formuliere Ereignisse, die folgende Eigenschaften erfüllen:

a) Die Ereignismenge umfasst 3 Ergebnisse

b) Die Ereignismenge umfasst kein Ergebnis

c) Die Ereignismenge umfasst 4 Ergebnisse

d) Die Ereignismenge umfasst 6 Ergebnisse

e) Die Ereignismenge umfasst 1 Ergebniss

Achtung: Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen

a) A: "Die Zahl der gezogenen Kugel ist durch drei teilbar", dann ist die Ereignismenge von A: {3, 6, 9}

b) B: "Es wird eine weiße Kugel gezogen", dann ist die Ereignismenge von B: { }

c) C: "Es fällt eine Zahl, die kleiner als fünf ist", dann ist die Ereignismenge von C: {1, 2, 3, 4}

d) D: "Es wird eine Zahl zwischen eins und sechs gezogen", dann ist die Ereignismenge von D: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

e) E: "Es wird eine gelbe Kugel gezogen", dann ist die Ereignismenge von E: {10}

Wahrscheinlichkeiten