Integralrechnung/Integrationsregeln

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

Mathematik-digital.de

Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.

Aufgabe 11

Kannst Du eine Regel oder Formel für die Integrale unter folgenden Punkten auf Basis Deines bisherigen Wissens angeben? Die Regel soll so allgemein gehalten sein, dass sie eine Berechnung beliebiger Integrale der folgenden Formen erlauben!

1. Welchen Wert hat das Integral einer Summe von Funktionen? Was gilt also für $\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x$?
2. Welchen Wert hat das Integral eines Produktes aus einer Zahl und einer Funktion? Was gilt also für $\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x$?

Aufgabe 12

Formuliere selbstständig eine allgemeine Regel dafür, wie das Integral einer Summe von Funktionen gebildet wird. Benutze dafür wieder die Software Geogebra (Applet oder geogebra.org oder installiert), indem Du die Integrale zweier beliebiger Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ in einem beliebigen Intervall $[a;b]$ bestimmst und mit $\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x$ vergleichst.

Es gilt die Summenregel für Integrale:
$\int\limits_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_a^b g(x) \ \mathrm{d}x$.

Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Integrale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert.

Aufgabe 13

Warum ist die Lösung von Aufgabe 12 plausibel?

1. Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge!
2. Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte!

1. Die Funktionswerte der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion $f(x) + g(x)$. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von $f(x)$ und $g(x)$ und der x-Achse.
2. Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: $\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x$

Zur Schreibweise: $\sum$ ist das Summenzeichen (großes griechisches Sigma), es gilt: $\sum_{i=0}^n f(x_i) = f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)$, d.h. der Index $i$ durchläuft alle Zahlen von 0 (untere Summengrenze) bis $n$ (obere Summengrenze). Es wird dann die Summe der einzelnen $f(x_i)$ gebildet.

Aufgabe 14

Formuliere selbstständig eine allgemeine Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl $c$ mit einer Funktion $f(x)$ gebildet wird. Benutze dafür erneut Geogebra (Applet oder geogebra.org oder installiert), indem Du das Integral einer beliebigen Funktion $c \cdot f(x)$ in einem beliebigen Intervall $[a;b]$ bestimmst und mit $c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x$ vergleichst, wobei $c$ irgendeine reelle Zahl ist.

Es gilt die Faktorregel für Integrale:
$\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x = c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x$.

Das Integral eines Produktes aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des konstanten Faktors und des Integrals der Funktion.

Aufgabe 15

Führe wieder die Plausbilitätsüberlegungen zur Lösung von Aufgabe 14!

1. Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge!
2. Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte!

1. Die Funktionswerte der Funktion $f(x)$ werden mit dem konstanten Faktor $c$ gestreckt. Somit werden auch die Flächeninhalte zwischen dem Graphen von $f(x)$ und der x-Achse mit dem konstanten Faktor $c$ gestreckt.
2. Der Grenzwert eines Produkts aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des Faktors und des Grenzwertes, falls dieser existiert: $\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} c \cdot f(x_i) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ c \cdot \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x = c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x$

Bemerkung: Das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund des Distributivgesetzes, das zweite aufgrund der Grenzwertsätze.

Aufgabe 16

1. Mache Dich mit der Intervalladditivität des Integrals (Internet!) vertraut und überzeuge Dich dann von ihrer Gültigkeit mit Hilfe von Geogebra, indem Du Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ sowie Grenzen $a$, $b$ und $c$ so wählst, dass die Zusammenhänge ersichtlich werden!
2. Beschreibe Deine Vorgehensweise in 1. Schritt für Schritt in kurzen Stichpunkten!

1. Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt nach dem 1. Hauptsatz:

 

 $\int\limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_{b}^{c} f(x) \ \mathrm{d}x = \left[   
  F(x) \right]_a^b + \left[ F(x) \right]_b^c = \left[ F(b) - F(a) \right] + \left[ F(c) - F(b) 
  \right] = F(c) - F(a) = \int\limits_{a}^{c} f(x) \ \mathrm{d}x$

1. Eine Lösung könnte beispielsweise folgendermaßen aussehen:
   1. Definiere in Geogebra zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$.
   2. Definiere beliebige Intervallgrenzen $a, \ b \ \mathrm{und} \ c$.
   3. Verschiebe die Intervallgrenzen und beobachte die Werte der Integrale bzw. des Integrals.
   4. Erkenne, dass ...

Aufgaben II