Potenzfunktionen - 4. Stufe

Potenzfunktionen

• Einführung
  
• Potenzfunktionen mit positivem ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit Stammbrüchen im Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen Stammbrüchen im Exponenten
• Test

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN^*

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

Aufgabe 1

Vergleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
   • Definitionsbereich
   • Symmetrie
   • Monotonie
   • größte und kleinste Funktionswerte
2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
   

   HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 

Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind für n>1 nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden. Die verschiedenen blauen Graphen sind streng-monoton fallend. Rote und blaue Graphen haben alle den Punkt (1,1) gemeinsam (Begründung: 1^r $=$1 für alle $r \in \mathbb{R}$). Der Wertebereich der blauen Graphen ist ]0,∞[.

Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n$\neq$0 wird definiert:

$a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}$ für $a \neq 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac 1 n}$$= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.$

Aufgabe 2

Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung:
Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion $f(x)=x^{-\frac{1}{n}}$ den Definitonsbereich D = IR⁺.

Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion $g(x)=\sqrt[n]{x}$ für $n\geq2$ nur auf IR⁺_o definiert, das heißt ihr Definitionsbereich $D = \mathbb{R}^+ \cup \{0\}.$

Aufgrund des Zusammenhangs $f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}$ überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion g grundsätzlich auf die Funktion f. Einschränken muss man den Definitionsbereich von f allerdings noch um jene Werte, bei denen g(x)$=$0 gilt, also um x$=$0. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich der Funktion f: D$=$IR⁺.

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel I: Es sei g eine Potenzfunktion, definiert auf D = IR⁺₀ durch $g(x)=x^{\frac{1}{3}}$. Gesucht ist die Umkehrfunktion $g^{\,-1}=:f$ von $\!\,g$.

$g^{\,-1}$ ergibt sich aus $\!\,g$ durch Auflösen nach $\!\,x$. Es ist:

$\begin{array}{lcr} x^{\frac{1}{3}} & = & y \\ x^{\frac{3}{3}} & = & y^3 \\ x & = & y^3 \end{array}$ $\begin{array}{lcr} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z \end{array}$

$\begin{array} y = x^{\frac{1}{3}} \quad \vert \quad ^3 \\ y^3 = x^{\frac{3}{3}} \\ = x \end{array}$

Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)$=$x³.

Beispiel II: Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch $f(x)=x^{- \frac 1 3}$ mit dem Definitionsbereich D = IR⁺. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f^-1.

Auflösen nach x ergibt:
$\begin{align} y = x^{- \frac 1 3} \quad \vert \quad ^3 \\ y^3 = x^{- \frac 3 3} \\ = x^{-1} \\ = \frac 1 x \quad \vert \quad \cdot x \\ x \cdot y^3 = 1 \quad \vert \quad :y^3 \\ x = \frac{1}{y^3} \\ = y^{-3} \end{align}$

Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f^-1 und f(x)$=$x^-1!

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.

Aufgabe 3

Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt?
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!

Potenzfunktionen mit $f(x) = x^{\frac 1 n}$ mit $n\geq2$ sind auf ihrem Definitionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$ streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart f(x)$=$xⁿ.
Ähnliches gilt für Funktionen der Form $f(x) = x^{-{\frac 1 n}}$ mit $n\geq2$ auf dem Definitionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$. Hier lautet die Umkehrfunktion f(x)$=$x^-n.
Hat man aber eine Potenzfunktion f(x)$=$xⁿ mit $n\geq2$ (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie - für gerade n - auf ihrem Defintionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich $\mathbb{R}^+_0$, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort $f(x) = x^{\frac 1 n}$.

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form $f(x) = x^{\frac 1 n},$ mit n ∈ IN^* und $n\geq2$ sind Potenzfunktionen der Form $f(x)\!\, = x^n.$ Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR⁺₀.

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form $f(x) = x^{- \frac 1 n},$ mit n ∈ IN^* und $n\geq2$ sind Potenzfunktionen der Form $f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}$. Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR⁺.

*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip

(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)

Aufgabe 4

Schau Dir dieses Video (Link hier) auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten:

• Spiegeln
• Strecken
• Stauchen
• Schieben
• Superponieren

Beantworte nun die folgenden Fragen:

1. Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
2. Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
3. Wo gehen die Variationsmöglichkeiten des Applets über die im Video vorgestellten hinaus?

*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen

(freiwillig)

Aufgabe 5

Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.

Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen?

Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?

Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

$f(x)=a\cdot x^q$

mit $a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}$ zusammengesetzt.

Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen:

1. Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert?
2. Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut.
   Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind.
3. Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
4. Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
5. Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?

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Und nun geht's zum Abschlusstest

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