Benutzer:Ukalina/Arithmico 2.24 Anleitung/Stochastische Funktionen und Verteilungen

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12 Stochastische Funktionen und Verteilungen

12.1 Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$

binco(n; k)

berechnet den Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ „n über k“

Beispiel 12.1.1 $\binom{6}{2} = 15$

Eingabe: binco(6; 2)

Ausgabe: 15

12.2 Binomialverteilung $B(n; p; k)$

binom(n; p; k)

berechnet die Binomialverteilung $B(n; p; k)$ mit den Parametern
n = Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs,
p =Trefferwahrscheinlichkeit,
k = Trefferanzahl

Beispiel 12.2.1 $B(6; 0,5; 2) = P(X=2) = 0,23438$

mit $n=6$,  $p=0,5$ und $k=2$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: binom(6; 0,5; 2)

Ausgabe: 0,23438

12.3 Kumulierte Binomialverteilung $F(n; p; k)$

cbinom(n; p; k)

berechnet die kumulierte Binomialverteilung $F(n; p; k)$ mit den Parametern
n = Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs,
p =Trefferwahrscheinlichkeit,
k = Trefferanzahl

Beispiel 12.3.1 $F(1000; 0,45; 421) = P(X<=421) = 0,03481$

mit $n=1000$, $p=0,45$ und $k=421$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: cbinom(1000; 0,45; 421)

Ausgabe: 0,03481

12.4 Kumulierte Binomialverteilung $1 - F(n; p; k)$

Beispiel 12.4.1 $1 - F(1000; 0,45; 421) = P(X > 421) = 0,96519$

mit $n=1000$ und $p=0,45$, $k=421$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: 1 - cbinom(1000; 0,45; 421)

Ausgabe: 0,96519

12.5 Quantilsfunktion der kumulierten Binomialverteilung $F(n; p; k)$

qbinom(q; n; p)

berechnet zu einem gegebenen Quantil $q$ und einem gegebenen Wert $F(n; p; k)$ der kumulierten Binomialverteilung die kleinste Trefferanzahl $k=k_q$, für die $F(n; p; k) \ge q$ ist. Dabei ist $n$ die Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit.

Erläuterung

Das Quantil $q$ teilt das Intervall $[0 ; 1]$ in zwei Teilintervalle $[0 ; q[$ und $[q ; 1]$.
Entsprechend kann man die sortierte Liste $[0; 1; 2; ... ; n]$ aller k-Werte in zwei Teilbereiche $\{0; 1 ; 2 ; ... ; k_q -1\}$ und $\{k_q ; k_q+1, ... ; n\}$
so aufteilen, dass für alle k-Werte aus dem rechten k-Bereich $\{k_q ; k_q+1, ... ; n\}$ die entsprechenden $F(n; p; k)$-Werte im rechten Intervall $[q ; 1]$ liegen.
Die Arithmico-Funktion qbinom(q; n; p) berechnet die untere Grenze $k_q$ des rechten k-Bereichs $\{k_q ; k_q+1, ... ; n\}$.

Beispiel 12.5.1 Quantil q gegeben, k_q gesucht

Gegeben sind eine Binomialverteilung mit $n=5$ und $p=0,4$ und das Quantil $q=90\%$.
Gesucht ist $k_q$, die kleinste Zahl $k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ , für die $F(5; 0,4; k) \geq 90\%$ ist.

Eingabe: qbinom(0,9; 5; 0,4)

Ausgabe: 3

Ergebnis

$k_q=3$ ist der kleinste aller k-Werte, für die $F(5; 0,4; K) \geq 0,9$ ist.

Probe

Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man sich eine Liste sämtlicher $F(n; p; k)$-Werte für alle $k$ von 0 bis 5 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(5; 0,4; k); 0; 5)

Ausgabe: [[0; 0,078]; [1; 0,337]; [2; 0,683]; [3; 0,913]; [4; 0,99]; [5; 1]]

In der Liste erkennt man, dass $k_q = 3$ der kleinste k-Wert ist, für den die $F(n; p; k)$-Werte oberhalb der Schwelle $q = 0,9$ liegen.

Beispiel 12.5.2 Linksseitiger Hypothesentest, kritische Zahl $K$ gesucht

Bei einem linksseitigen Hypothesentest mit der Nullhypothese ($H_0: p \geq p_0$), einem Stichprobenumfang $n$ und einem Signifikanzniveau $\alpha$ wird die obere Grenze $K$ des Verwerfungsbereichs $V_0 = \{0; 1; 2; ...; K\}$ von $H_0$ gesucht.
$K$ ist so zu bestimmen, dass die Bedingung $P(X \in V_0) = P(X \leq K) \leq \alpha$ erfüllt ist. Der Ausdruck $P(X \leq K)$ kann direkt mithilfe der kumulierten Binomialverteilung $F(n; p; k)$ berechnet werden.
Die Quantils-Funktion qbinom(q; n; p) liefert mit den Parametern $q=\alpha$ und $p=p_0$ den Wert $k_q=K+1$. Um die kritische Zahl $K$ zu erhalten, muss also der von qbinom(α; n; p0) ausgegebene Wert $k_q$um 1 reduziert werden.

Beispiel

$n=100$, $p_0=10\%$, $\alpha=5\%$, $H_1: p < 10\%$

Eingabe: qbinom(0,05; 100; 0,1)

Ausgabe: 5

Ergebnis

$K+1 = 5$, also $K=4$

Probe

Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man eine Liste sämtlicher $F(n; p; k)$-Werte für k von 2 bis 6 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(100; 0,1; k); 2; 6)

Ausgabe: [[2; 0,002]; [3; 0,008]; [4; 0,024]; [5; 0,058]; [6; 0,117]]

In der Liste erkennt man, dass bis zu dem k-Wert $K = 4$ die $F(n; p; k)$-Werte unterhalb des Signifikanzniveaus $\alpha = 5 \%$ liegen, also die Bedingung $F(n; p; k) = P(X \leq K) \leq \alpha$ erfüllt ist.

Beispiel 12.5.3 Rechtsseitiger Signifikanztest, kritische Zahl K gesucht

Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest mit einem Stichprobenumfang n, einer zu H₀ gehörenden Trefferwahrscheinlichkeit p₀ und einem Signifikanzniveau α wird die untere Grenze K des Verwerfungsbereichs von H₀ gesucht.
Dabei soll K die Bedingung erfüllen: $P(X \in [K ; n] ) \leq \alpha$

Durch Äquivalenzumformungen erhält man aus dieser Bedingung eine äquivalente F(n ; p; k) - Aussage:

$P(X \in [K ; n] ) \leq \alpha$

$\Leftrightarrow P(X \in [K ; n] ) \leq \alpha$

$\Leftrightarrow P(X \geq K) \leq \alpha$

$\Leftrightarrow 1 - P(X < K) \leq \alpha$

$\Leftrightarrow 1 - P(X <= K-1) \leq \alpha$

$\Leftrightarrow 1 - F(n; p; K-1) \leq \alpha$

$\Leftrightarrow F(n; p; K-1) \geq 1-\alpha$

Die Quantils-Funktion qbinom(q; n; p) liefert mit den Parametern $q=1-\alpha$ und $p=p_0$ den Wert k_q =K-1.

1. Beispiel:

$n=100$, $p_0=90\%$, $\alpha=5\%$, $H_1: p > 90\%$ Dann ist $F(100; 0,9; K-1) \geq 0,95$

Eingabe: qbinom(0,95; 100; 0,9)

Ausgabe: 95

Ergebnis: K-1 = 95, also K = 96

Probe: Das Ergebnis kann mit dem table- und dem cbinom-Befehl überprüft werden, indem man alle F(n ; p; k)-Werte für k von 93 bis 97 in einer Liste ausgeben lässt:

Eingabe: table(k -> cbinom(100; 0,9; k-1); 93; 97) Ausgabe: [[93; 0,794]; [94; 0,883]; [95; 0,942]; [96; 0,976]; [97; 0,992]]

Man erkennt, dass ab dem k-Wert K = 96 die F(n; p; k)-Werte oberhalb der Schwelle 1 - α = 0,95 liegen.

2. Beispiel: n=20; p_0=0,25; \alpha = 5\%

Eingabe: qbinom(0,95; 20; 0,25)

Ausgabe: 8

Eingabe: table(k -> cbinom(20; 0,25; k-1); 6; 10)

Ausgabe: [[6; 0,617]; [7; 0,786]; [8; 0,898]; [9; 0,959]; [10; 0,986]]

Ab dem k-Wert K=9 liegen die F(n; p; k)-Werte oberhalb der Schwelle 1 - α = 0,95.

3. Beispiel: n=200 ; p_0=12,5\% ; \alpha=1\%

Eingabe: qbinom(0,99; 200; 0,125)

Ausgabe: 36

Bis K-1 = 36 liegen die 1-F(n; p; k)-Werte oberhalb des Signifikanzniveaus von \alpha = 0,01. Ab K = 37 liegen sie darunter.

Probe:

Eingabe: table(k -> cbinom(200; 0,125; k-1); 35; 40)

Ausgabe: [[35; 0,975]; [36; 0,984]; [37; 0,991]; [38; 0,994]; [39; 0,997]; [40; 0,998]]

Ab dem k-Wert K=37 liegen die F(n; p; k)-Werte oberhalb der Schwelle 1 - α = 0,99.

12.6 Gauß'sche Dichtefunktion (Normalverteilung)

normal(x; expectation?; sd?) Berechnet den Funktionswert der gaußschen Normalverteilung mit dem Erwartungswert expectation und der Standardabweichung sd an der Stelle x. Der Vorgabewert für expectation ist 0 und für sd 1 (Standardnormalverteilung).

Beispiel 12.6.1 Berechne für die Standardnormalverteilung mit E(X) = 0 und \sigma(X) =1 den Funktionswert \phi(0) mithilfe der Definition der Dichtefunktion \phi(x) = 1/ \sqrt{2\pi} *e^{-0,5*x^2}

Eingabe: phi(x):=1/ sqrt(2*pi) *e^(-0,5*x^2)

Ausgabe: (x: any) → 1 / sqrt(2 * pi) * e^(-0,5 * x^2)

Eingabe: phi(0)

Ausgabe: 0,39894

Bespiel 12.6.2 Berechne \phi(0) mithilfe des Befehls normal(x) (Standardnormalverteilung)

Eingabe: normal(0)

Ausgabe: 0,39894

12.7 Gauß'sche Integralfunktion (Kumulierte Standardnormalverteilung)

cnormal(z; expectation?; sd?) Berechnet den Wert der kumulierten gaußschen Normalverteilung (Verteilungsfunktion der Normalverteilung) mit dem Erwartungswert expectation und der Standardabweichung sd an der Stelle z. Der Vorgabewert für expectation ist 0 und für sd 1 (kumulierte Standardnormalverteilung Phi(z) mit

\Phi(z) = \int_{-\infty}^z \phi(t) dt und

\phi(t) = 1/ \sqrt{2\pi} *e^{-0,5*t^2}

Beispiel 12.7.1 Berechne \Phi(0,5)

Eingabe: cnormal(0,5)

Ausgabe: 0,69146

12.8 Quantilsfunktion der Gauß'schen Integralfunktion (Kumulierte Normalverteilung)

qnormal(q; expectation?; sd?) Quantilsfunktion der kumulierten Normalverteilung mit Erwartungswert expectation und Standardabweichung sd. Berechnet zum gegebenen Quantil q die Stelle z, für die der Funktionswert der kumulierten Normalverteilung F(z) = q ist. Der Vorgabewert für expectation ist 0 und für sd 1 (kumulierte Standardnormalverteilung).

Beispiel 12.8.1 Berechne z so, dass \Phi(z) = 0,69146 ist

Eingabe: qnormal(0,69146)

Ausgabe: 0,49999

12.9 Gauß'sche Fehlerfunktion erf(x)

erf(x) Gaußsche Fehlerfunktion

Beispiel 12.9.1 Berechne erf(0,45)

Eingabe: erf(0,45)

Ausgabe: 0,47548

12.10 Arithmetischer Mittelwert

avg(x) Berechnet den arithmetischen Mittelwert einer Werteliste.

Beispiel 12.10.1 Berechne das arithmetische Mittel der Werte 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12, also \overline{x} = (1 + 3 + 5 + 9 + 12)/5 = 30/5 = 6

Eingabe: avg(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 6

12.11 Varianz einer Stichprobe

var(x) Berechnet die Stichprobenvarianz \sigma^2 einer Werteliste.

Beispiel 12.11.1 Berechne die Varianz \sigma^2 der Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12, also \sigma ^2=((1-6)^2+(3-6)^2+(5-6)^2+(9-6)^2+(12-6)^2))/5=(25+9+1+9+36)/5=80/5=16

Eingabe: var(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 16

12.12 Standardabweichung

sd(x) Berechnet die Standardabweichung \sigma einer Werteliste.

Beispiel 12.12.1 Berechne \sigma für die Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12

Eingabe: sd(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 4