Benutzer:Ukalina/Arithmico 2.24 Anleitung/Vektoren und Matrizen

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10 Vektoren

[a1; a2; ...] Vektoren werden als Liste von Koordinaten in eckigen Klammern geschrieben.

10.1 Vektorsumme $\vec{a} + \vec{b}$

[a1; a2; a3] + [b1; b2; b3]

berechnet die Vektorsumme $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}$der Vektoren $\vec{a} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} =\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}$.

Beispiel 10.1.1 $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$

Eingabe: [1; -2; 2] + [2; 1; 0]

Ausgabe: [3; -1; 2]

10.2 Skalarprodukt $\vec{a} * \vec{b}$

[a1; a2; a3] * [b1; b2; b3]

berechnet das Skalarprodukt $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}$ der Vektoren $\vec{a} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} =\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}$.

Beispiel 10.2.1 $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = 0$

Eingabe: [1; -2; 2] * [2; 1; 0]

Ausgabe: 0

10.3 Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$

cross([a1; a2; a3]; [b1; b2; b3])

berechnet das Vektorprodukt $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}$ der Vektoren $\vec{a} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} =\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}$.

Beispiel 10.3.1 $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5\end{pmatrix}$

Eingabe: cross([1; -2; 2] ; [2; 1; 0])

Ausgabe: [-2; 4; 5]

10.4 Vektorlänge $\left \vert \vec{a} \right \vert$

length([a1;a2;a3])

berechnet die Länge (den Betrag) des Vektors $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}$.

Beispiel 10.4.1 $\left \vert \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} \right \vert = 3$

Eingabe: length([1; -2; 2])

Ausgabe: 3

11 Matrizen

[[a1;b1;...] ; [a2;b2;...] ; ...] Matrizen werden als Liste von (Zeilen-) Vektoren in eckigen Klammern geschrieben.

11.1 Matrizensumme $A + B$

A + B berechnet die Summe der Matrizen A und B.

Beispiel 11.1.1 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

Eingabe: [[1; 2]; [3; 4]]+[[5; 6]; [7; 8]]

Ausgabe: [[6; 8]; [10; 12]]

11.2 Matrizenprodukt $A * B$

A * B Berechnet das Produkt der Matrizen A und B.

Beispiel 11.2.1 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

Eingabe: [[1; 2]; [3; 4]]*[[5; 6]; [7; 8]]

Ausgabe: [[19; 22]; [43; 50]]

Beispiel 11.2.2 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1,5 & -0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Eingabe: [[1; 2]; [3; 4]]*[[-2; 1]; [1,5; -0,5]]

Ausgabe: [[1; 0]; [0; 1]]

11.3 Inverse Matrix $A^{-1}$

matrix:inverse(A)

berechnet die inverse Matrix $A^{-1}$ zu einer (quadratischen) Matrix A.

Beispiel 11.3.1 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1,5 & -0,5 \end{pmatrix}$

Eingabe: matrix:inverse([[1; 2]; [3; 4]])

Ausgabe: [[-2; 1] ; [3/2 ; -1/2]]

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