Benutzer:Ukalina/Arithmico 2.24 Anleitung/Stochastische Funktionen und Verteilungen

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12 Stochastische Funktionen und Verteilungen

12.1 Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$

binco(n; k)

berechnet den Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ „n über k“

Beispiel 12.1.1 $\binom{6}{2} = 15$

Eingabe: binco(6; 2)

Ausgabe: 15

12.2 Binomialverteilung $B(n; p; k)$

binom(n; p; k)

berechnet die Binomialverteilung $B(n; p; k)$ mit den Parametern
n = Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs,
p =Trefferwahrscheinlichkeit,
k = Trefferanzahl

Beispiel 12.2.1 $B(6; 0,5; 2) = P(X=2) = 0,23438$

mit $n=6$,  $p=0,5$ und $k=2$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: binom(6; 0,5; 2)

Ausgabe: 0,23438

12.3 Kumulierte Binomialverteilung $F(n; p; k)$

cbinom(n; p; k)

berechnet die kumulierte Binomialverteilung $F(n; p; k)$ mit den Parametern
n = Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs,
p =Trefferwahrscheinlichkeit,
k = Trefferanzahl

Beispiel 12.3.1 $F(1000; 0,45; 421) = P(X<=421) = 0,03481$

mit $n=1000$, $p=0,45$ und $k=421$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: cbinom(1000; 0,45; 421)

Ausgabe: 0,03481

12.4 Kumulierte Binomialverteilung $1 - F(n; p; k)$

Beispiel 12.4.1 $1 - F(1000; 0,45; 421) = P(X > 421) = 0,96519$

mit $n=1000$ und $p=0,45$, $k=421$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: 1 - cbinom(1000; 0,45; 421)

Ausgabe: 0,96519

12.5 Quantilsfunktion der kumulierten Binomialverteilung $F(n; p; k)$

qbinom(q; n; p)

berechnet zu einem gegebenen Quantil $q$ und einem gegebenen Wert $F(n; p; k)$ der kumulierten Binomialverteilung die kleinste Trefferanzahl $k=k_q$, für die $F(n; p; k) \ge q$ ist. Dabei ist $n$ die Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit.

Erläuterung: Das Quantil q teilt das Intervall [ 0 ; 1 ] in zwei Teilintervalle [ 0 ; q [ und [ q ; 1 ].
Entsprechend kann man die sortierte Liste [0; 1; 2; ... ; n] aller k-Werte in zwei Teilbereiche [ 0 ; k_q-1 ] und [ k_q ; n ]
so aufteilen, dass für alle k-Werte aus dem rechten Bereich [ k_q ; n ] die entsprechenden F(n; p; k)-Werte im rechten Intervall [ q ; 1 ] liegen.
Die Arithmico-Funktion qbinom(q; n; p) berechnet die untere Grenze k_q des rechten Bereichs [ k_q ; n ].

Beispiel 12.5.1 Quantil q gegeben, k_q gesucht

Gegeben ist eine Binomialverteilung mit $n=5$ und $p=0,4$ und das Quantil $q=90\%$. Gesucht ist $k_q$, die kleinste Zahl $k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ , für die $F(5; 0,4; k) >= 90\%$ ist.

Eingabe: qbinom(0,9; 5; 0,4)

Ausgabe: 3

Ergebnis: $k_q=3$ ist der kleinste aller k-Werte, für die $F(5; 0,4; K) >= 0,9$ ist.

Probe: Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man sich eine Liste sämtlicher $F(n; p; k)$-Werte für alle k von 0 bis 5 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(5; 0,4; k); 0; 5)

Ausgabe: [[0; 0,078]; [1; 0,337]; [2; 0,683]; [3; 0,913]; [4; 0,99]; [5; 1]]

Man erkennt, dass $k_q = 3$ der kleinste k-Wert ist, für den die $F(n; p; k)$-Werte oberhalb der Schwelle $q = 0,9$ liegen.

Beispiel 12.5.2 Linksseitiger Hypothesentest, kritische Zahl K gesucht

Bei einem linksseitigen Hypothesentest mit einem Stichprobenumfang n, einer zu H₀ gehörenden Trefferwahrscheinlichkeit p₀ und einem Signifikanzniveau $\alpha$ wird der Bereich aller möglichen Trefferanzahlen [ 0 ; n ] in zwei Bereiche geteilt: Der Bereich [ 0 ; K ] (Ablehnungsbereich für H₀: p = p₀) enthält alle k-Werte, für die $F(n; p_0; k) \le \alpha$ ist. Die gesuchte kritische Zahl ist die obere Grenze dieses Bereichs, also K.
Die Quantils-Funktion qbinom(q; n; p) liefert mit den Parametern $q=\alpha$ und $p=p_0$ den kleinsten k-Wert k_q, für den gilt $F(n; p_0; k) > \alpha$ und damit zugleich den kleinsten Wert des Annahmebereichs für H₀ = [K+1 ; n ]. Aus $k_q = K+1$ folgt $K = k_q -1$. Um die kritische Zahl K zu erhalten, muss also der von der Quantils-Funktion ausgegebene Wert k_q um 1 reduziert werden.

Beispiel:

In einer Fertigungsstrasse für Bauteile betrug die Ausschussquote p bisher p₀=10% (Erfahrungswert). Nach Optimierungsmaßnahmen vermutet man, dass diese Quote gesunken ist (Hypothese H₁). Um diese Vermutung zu überprüfen, wird der Produktion eine Stichprobe von n=100 Bauteilen entnommen. Gesucht ist (als Entscheidungsregel) die die obere Grenze K desjenigen Bereiches [ 0 ; K ], in dem die Anzahl defekter Teile innerhalb der Stichprobe höchstens liegen darf, damit die Hypothese H₁ als bestätigt angesehen wird. Dabei soll K so gewählt werden, dass das Risiko, die Nullhypothese H₀ aufgrund der Entscheidungsregel zu verwerfen, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist, nicht größer ist als das Signifikanzniveau von $\alpha = 5\%$.

Betrachtet man das Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ als Quantil, dann ist hier der linke Quantilsbereich [0; K] und der rechte Quantilsbereich [K+1, n], denn für alle k >= K+1 gilt F(100; 0,1; k) >= 0,05.

qbinom(q; n; p) berechnet auch hier wieder die untere Grenze des rechten Quantils-Bereichs, in diesem Fall also K+1.

Eingabe: qbinom(0,05; 100; 0,1)

Ausgabe: 5

Ergebnis: K+1 = 5, also K=4

Probe: Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man sämtliche F(n; p; k)-Werte für alle k von 2 bis 6 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(100; 0,1; k); 2; 6)

Ausgabe: [[2; 0,002]; [3; 0,008]; [4; 0,024]; [5; 0,058]; [6; 0,117]]

Man erkennt, dass bis zu dem Wert k = 4 die F(n; p; k)-Werte unterhalb des Signifikanzniveaus \alpha = 0,05 liegen.

Beispiel 12.5.3 Kritische Zahl K gesucht bei rechtsseitigem Signifikanztest. Hypothese: „Wahrscheinlichkeit p für einen Erfolg ist über 90% gestiegen“: H_1: p > 0,9. H_0: p = 0,9. Bernoulliversuch mit

n = 100, Entscheidungsregel: Verwerfungsbereich für H_0 sei [K; n], Annahmebereich für H_0 ist demnach [0; K-1], Signifikanzniveau sei \alpha = 5%. Gesucht ist die kleinste „kritische“ Zahl K, für die gilt: Die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art, also P(H_0 ist wahr, wird aber verworfen) <= \alpha. Diese Bedingung kann mit folgender Umformung auf einen F(n; p; k)-Ausdruck zurückgeführt werden:

P(X liegt im Verwerfungsbereich von H_0)

= P(X >= K) = 1 - P(X < K) = 1 - P(X <= K-1) = 1 - F(n; p; K-1)

Diese Wahrscheinlichkeit soll unterhalb von \alpha liegen:

1 - F(100; 0,9; K-1) <= \alpha führt zu

F(100; 0,9; K-1) >= 1 - \alpha

Betrachtet man 1 - \alpha als Quantil q, dann liefert qbinom die untere Grenze des rechten Quantilsbereichs [K-1, n], in diesem Fall also K-1.

Eingabe: qbinom(0,95; 100; 0,9)

Ausgabe: 95

Ergebnis: K-1 = 95, also K = 96

Probe: Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man sämtliche F(n; p; k)-Werte für alle k von 93 bis 97 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(100; 0,9; k); 93; 97)

Ausgabe: [[93; 0,883]; [94; 0,942]; [95; 0,976]; [96; 0,992]; [97; 0,998]]

Man erkennt, dass ab dem Wert K = 95 die F(n; p; k)-Werte oberhalb des Quantils 0,95 liegen.

12.6 Gauß'sche Dichtefunktion (Normalverteilung)

normal(x; expectation?; sd?) Berechnet den Funktionswert der gaußschen Normalverteilung mit dem Erwartungswert expectation und der Standardabweichung sd an der Stelle x. Der Vorgabewert für expectation ist 0 und für sd 1 (Standardnormalverteilung).

Beispiel 12.6.1 Berechne für die Standardnormalverteilung mit E(X) = 0 und \sigma(X) =1 den Funktionswert \phi(0) mithilfe der Definition der Dichtefunktion \phi(x) = 1/ \sqrt{2\pi} *e^{-0,5*x^2}

Eingabe: phi(x):=1/ sqrt(2*pi) *e^(-0,5*x^2)

Ausgabe: (x: any) → 1 / sqrt(2 * pi) * e^(-0,5 * x^2)

Eingabe: phi(0)

Ausgabe: 0,39894

Bespiel 12.6.2 Berechne \phi(0) mithilfe des Befehls normal(x) (Standardnormalverteilung)

Eingabe: normal(0)

Ausgabe: 0,39894

12.7 Gauß'sche Integralfunktion (Kumulierte Standardnormalverteilung)

cnormal(z; expectation?; sd?) Berechnet den Wert der kumulierten gaußschen Normalverteilung (Verteilungsfunktion der Normalverteilung) mit dem Erwartungswert expectation und der Standardabweichung sd an der Stelle z. Der Vorgabewert für expectation ist 0 und für sd 1 (kumulierte Standardnormalverteilung Phi(z) mit

\Phi(z) = \int_{-\infty}^z \phi(t) dt und

\phi(t) = 1/ \sqrt{2\pi} *e^{-0,5*t^2}

Beispiel 12.7.1 Berechne \Phi(0,5)

Eingabe: cnormal(0,5)

Ausgabe: 0,69146

12.8 Quantilsfunktion der Gauß'schen Integralfunktion (Kumulierte Normalverteilung)

qnormal(q; expectation?; sd?) Quantilsfunktion der kumulierten Normalverteilung mit Erwartungswert expectation und Standardabweichung sd. Berechnet zum gegebenen Quantil q die Stelle z, für die der Funktionswert der kumulierten Normalverteilung F(z) = q ist. Der Vorgabewert für expectation ist 0 und für sd 1 (kumulierte Standardnormalverteilung).

Beispiel 12.8.1 Berechne z so, dass \Phi(z) = 0,69146 ist

Eingabe: qnormal(0,69146)

Ausgabe: 0,49999

12.9 Gauß'sche Fehlerfunktion erf(x)

erf(x) Gaußsche Fehlerfunktion

Beispiel 12.9.1 Berechne erf(0,45)

Eingabe: erf(0,45)

Ausgabe: 0,47548

12.10 Arithmetischer Mittelwert

avg(x) Berechnet den arithmetischen Mittelwert einer Werteliste.

Beispiel 12.10.1 Berechne das arithmetische Mittel der Werte 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12, also \overline{x} = (1 + 3 + 5 + 9 + 12)/5 = 30/5 = 6

Eingabe: avg(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 6

12.11 Varianz einer Stichprobe

var(x) Berechnet die Stichprobenvarianz \sigma^2 einer Werteliste.

Beispiel 12.11.1 Berechne die Varianz \sigma^2 der Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12, also \sigma ^2=((1-6)^2+(3-6)^2+(5-6)^2+(9-6)^2+(12-6)^2))/5=(25+9+1+9+36)/5=80/5=16

Eingabe: var(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 16

12.12 Standardabweichung

sd(x) Berechnet die Standardabweichung \sigma einer Werteliste.

Beispiel 12.12.1 Berechne \sigma für die Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12

Eingabe: sd(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 4