Benutzer:Ukalina/Arithmico 2.24 Anleitung/Stochastische Funktionen und Verteilungen

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12 Stochastische Funktionen und Verteilungen

12.1 Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$

binco(n; k)

berechnet den Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ „n über k“

Beispiel 12.1.1 $\binom{6}{2} = 15$

Eingabe: binco(6; 2)

Ausgabe: 15

12.2 Binomialverteilung $B(n; p; k)$

binom(n; p; k)

berechnet die Binomialverteilung $B(n; p; k)$ mit den Parametern
n = Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs,
p =Trefferwahrscheinlichkeit,
k = Trefferanzahl

Beispiel 12.2.1 $B(6; 0,5; 2) = P(X=2) = 0,23438$

mit $n=6$,  $p=0,5$ und $k=2$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: binom(6; 0,5; 2)

Ausgabe: 0,23438

12.3 Kumulierte Binomialverteilung $F(n; p; k)$

cbinom(n; p; k)

berechnet die kumulierte Binomialverteilung $F(n; p; k)$ mit den Parametern
n = Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs,
p =Trefferwahrscheinlichkeit,
k = Trefferanzahl

Beispiel 12.3.1 $F(1000; 0,45; 421) = P(X<=421) = 0,03481$

mit $n=1000$, $p=0,45$ und $k=421$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: cbinom(1000; 0,45; 421)

Ausgabe: 0,03481

12.4 Kumulierte Binomialverteilung $1 - F(n; p; k)$

Beispiel 12.4.1 $1 - F(1000; 0,45; 421) = P(X > 421) = 0,96519$

mit $n=1000$ und $p=0,45$, $k=421$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: 1 - cbinom(1000; 0,45; 421)

Ausgabe: 0,96519

12.5 Quantilsfunktion der kumulierten Binomialverteilung $F(n; p; k)$

qbinom(q; n; p)

berechnet zu einem gegebenen Quantil $q$ und einem gegebenen Wert $F(n; p; k)$ der kumulierten Binomialverteilung die kleinste Trefferanzahl $k=k_q$, für die $F(n; p; k) \ge q$ ist. Dabei ist $n$ die Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit.

Erläuterung: Das Quantil q teilt das Intervall [ 0 ; 1 ] in zwei Teilintervalle [ 0 ; q [ und [ q ; 1 ].
Entsprechend kann man die sortierte Liste [0; 1; 2; ... ; n] aller k-Werte in zwei Teilbereiche [ 0 ; k_q-1 ] und [ k_q ; n ]
so aufteilen, dass für alle k-Werte aus dem rechten Bereich [ k_q ; n ] die entsprechenden F(n; p; k)-Werte im rechten Intervall [ q ; 1 ] liegen.
Die Arithmico-Funktion qbinom(q; n; p) berechnet die untere Grenze k_q des rechten Bereichs [ k_q ; n ].

Beispiel 12.5.1 Quantil q gegeben, k_q gesucht

Gegeben ist eine Binomialverteilung mit $n=5$ und $p=0,4$ und das Quantil $q=90\%$. Gesucht ist $k_q$, die kleinste Zahl $k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ , für die $F(5; 0,4; k) >= 90\%$ ist.

Eingabe: qbinom(0,9; 5; 0,4)

Ausgabe: 3

Ergebnis: $k_q=3$ ist der kleinste aller k-Werte, für die $F(5; 0,4; K) >= 0,9$ ist.

Probe: Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man sich eine Liste sämtlicher $F(n; p; k)$-Werte für alle k von 0 bis 5 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(5; 0,4; k); 0; 5)

Ausgabe: [[0; 0,078]; [1; 0,337]; [2; 0,683]; [3; 0,913]; [4; 0,99]; [5; 1]]

Man erkennt, dass $k_q = 3$ der kleinste k-Wert ist, für den die $F(n; p; k)$-Werte oberhalb der Schwelle $q = 0,9$ liegen.

Beispiel 12.5.2 Linksseitiger Hypothesentest, kritische Zahl K gesucht

Bei einem linksseitigen Hypothesentest mit einem Stichprobenumfang n, einer zu H₀ gehörenden Trefferwahrscheinlichkeit p₀ und einem Signifikanzniveau $\alpha$ wird der Bereich aller möglichen Trefferanzahlen [ 0 ; n ] in zwei Bereiche geteilt: Der Bereich [ 0 ; K ] (Ablehnungsbereich für H₀: p = p₀) enthält alle k-Werte, für die $F(n; p_0; k) \le \alpha$ ist. Die gesuchte kritische Zahl ist die obere Grenze dieses Bereichs, also K.
Die Quantils-Funktion qbinom(q; n; p) liefert mit den Parametern $q=\alpha$ und $p=p_0$ den kleinsten k-Wert k_q, für den gilt $F(n; p_0; k) > \alpha$ und damit zugleich den kleinsten Wert des Annahmebereichs für H₀ = [K+1 ; n ]. Aus $k_q = K+1$ folgt $K = k_q -1$. Um die kritische Zahl K zu erhalten, muss also der von der Quantils-Funktion ausgegebene Wert k_q um 1 reduziert werden.

Beispiel:

In einer Fertigungsstrasse für Bauteile betrug die Ausschussquote p bisher p₀=10% (Erfahrungswert). Nach Optimierungsmaßnahmen vermutet man, dass diese Quote gesunken ist (Hypothese H₁). Um diese Vermutung zu überprüfen, wird der Produktion eine Stichprobe von n=100 Bauteilen entnommen. Gesucht ist (als Entscheidungsregel) die die obere Grenze K desjenigen Bereiches [ 0 ; K ], in dem die Anzahl defekter Teile innerhalb der Stichprobe höchstens liegen darf, damit die Hypothese H₁ als bestätigt angesehen wird. Dabei soll K so gewählt werden, dass das Risiko, die Nullhypothese H₀ aufgrund der Entscheidungsregel zu verwerfen, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist, nicht größer ist als das Signifikanzniveau von $\alpha = 5\%$.

, p nun also unter den Wert von p₀ und damit auf der Zahlengeraden links von p₀ liegt.

Anhand einer Stichprobe mit einem Stichprobenumfang von n=100 soll festgestellt werden, ob die Vermutung berechtigt ist. Dazu soll berechnet werden, wie viele defekte Teile (Treffer) die Stichprobe höchstens enthalten darf, damit der Vermutung Glauben geschenkt wird. Dabei wird als Signifikanzniveau eine Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha = 5\%$
Hypothese H₀: Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist neuerdings unter den Wert von p₀ gesunken, d.h. p liegt . Hypothese H₁: Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist neuerdings unter den Wert von p₀ gesunken, d.h. p liegt .

Hypothesen: $H_0: p = 0,1$, $H_1: p < 0,1$

mit $n = 100$.

Entscheidungsregel: Verwerfungsbereich für H_0 sei [0; K], Annahmebereich für H_0 demnach [K+1; n], Signifikanzniveau sei \alpha = 5%. Gesucht ist die größte „kritische“ Zahl K, für die gilt: Die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art, also P(H_0 ist wahr, wird aber verworfen) soll <= \alpha sein, also P(X <= K) = F(100; 0,1; K) <= 0,05.

Betrachtet man \alpha als Quantil, dann ist hier der linke Quantilsbereich [0; K] und der rechte Quantilsbereich [K+1, n], denn für alle k >= K+1 gilt F(100; 0,1; k) >= 0,05.

qbinom(q; n; p) berechnet auch hier wieder die untere Grenze des rechten Quantils-Bereichs, in diesem Fall also K+1.

Eingabe: qbinom(0,05; 100; 0,1)

Ausgabe: 5

Ergebnis: K+1 = 5, also K=4

Probe: Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man sämtliche F(n; p; k)-Werte für alle k von 2 bis 6 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(100; 0,1; k); 2; 6)

Ausgabe: [[2; 0,002]; [3; 0,008]; [4; 0,024]; [5; 0,058]; [6; 0,117]]

Man erkennt, dass bis zu dem Wert k = 4 die F(n; p; k)-Werte unterhalb des Signifikanzniveaus \alpha = 0,05 liegen.

Beispiel 12.5.3 Kritische Zahl K gesucht bei rechtsseitigem Signifikanztest. Hypothese: „Wahrscheinlichkeit p für einen Erfolg ist über 90% gestiegen“: H_1: p > 0,9. H_0: p = 0,9. Bernoulliversuch mit

n = 100, Entscheidungsregel: Verwerfungsbereich für H_0 sei [K; n], Annahmebereich für H_0 ist demnach [0; K-1], Signifikanzniveau sei \alpha = 5%. Gesucht ist die kleinste „kritische“ Zahl K, für die gilt: Die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art, also P(H_0 ist wahr, wird aber verworfen) <= \alpha. Diese Bedingung kann mit folgender Umformung auf einen F(n; p; k)-Ausdruck zurückgeführt werden:

P(X liegt im Verwerfungsbereich von H_0)

= P(X >= K) = 1 - P(X < K) = 1 - P(X <= K-1) = 1 - F(n; p; K-1)

Diese Wahrscheinlichkeit soll unterhalb von \alpha liegen:

1 - F(100; 0,9; K-1) <= \alpha führt zu

F(100; 0,9; K-1) >= 1 - \alpha

Betrachtet man 1 - \alpha als Quantil q, dann liefert qbinom die untere Grenze des rechten Quantilsbereichs [K-1, n], in diesem Fall also K-1.

Eingabe: qbinom(0,95; 100; 0,9)

Ausgabe: 95

Ergebnis: K-1 = 95, also K = 96

Probe: Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man sämtliche F(n; p; k)-Werte für alle k von 93 bis 97 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(100; 0,9; k); 93; 97)

Ausgabe: [[93; 0,883]; [94; 0,942]; [95; 0,976]; [96; 0,992]; [97; 0,998]]

Man erkennt, dass ab dem Wert K = 95 die F(n; p; k)-Werte oberhalb des Quantils 0,95 liegen.

12.6 Gauß'sche Dichtefunktion (Normalverteilung)

normal(x; expectation?; sd?) Berechnet den Funktionswert der gaußschen Normalverteilung mit dem Erwartungswert expectation und der Standardabweichung sd an der Stelle x. Der Vorgabewert für expectation ist 0 und für sd 1 (Standardnormalverteilung).

Beispiel 12.6.1 Berechne für die Standardnormalverteilung mit E(X) = 0 und \sigma(X) =1 den Funktionswert \phi(0) mithilfe der Definition der Dichtefunktion \phi(x) = 1/ \sqrt{2\pi} *e^{-0,5*x^2}

Eingabe: phi(x):=1/ sqrt(2*pi) *e^(-0,5*x^2)

Ausgabe: (x: any) → 1 / sqrt(2 * pi) * e^(-0,5 * x^2)

Eingabe: phi(0)

Ausgabe: 0,39894

Bespiel 12.6.2 Berechne \phi(0) mithilfe des Befehls normal(x) (Standardnormalverteilung)

Eingabe: normal(0)

Ausgabe: 0,39894

12.7 Gauß'sche Integralfunktion (Kumulierte Standardnormalverteilung)

cnormal(z; expectation?; sd?) Berechnet den Wert der kumulierten gaußschen Normalverteilung (Verteilungsfunktion der Normalverteilung) mit dem Erwartungswert expectation und der Standardabweichung sd an der Stelle z. Der Vorgabewert für expectation ist 0 und für sd 1 (kumulierte Standardnormalverteilung Phi(z) mit

\Phi(z) = \int_{-\infty}^z \phi(t) dt und

\phi(t) = 1/ \sqrt{2\pi} *e^{-0,5*t^2}

Beispiel 12.7.1 Berechne \Phi(0,5)

Eingabe: cnormal(0,5)

Ausgabe: 0,69146

12.8 Quantilsfunktion der Gauß'schen Integralfunktion (Kumulierte Normalverteilung)

qnormal(q; expectation?; sd?) Quantilsfunktion der kumulierten Normalverteilung mit Erwartungswert expectation und Standardabweichung sd. Berechnet zum gegebenen Quantil q die Stelle z, für die der Funktionswert der kumulierten Normalverteilung F(z) = q ist. Der Vorgabewert für expectation ist 0 und für sd 1 (kumulierte Standardnormalverteilung).

Beispiel 12.8.1 Berechne z so, dass \Phi(z) = 0,69146 ist

Eingabe: qnormal(0,69146)

Ausgabe: 0,49999

12.9 Gauß'sche Fehlerfunktion erf(x)

erf(x) Gaußsche Fehlerfunktion

Beispiel 12.9.1 Berechne erf(0,45)

Eingabe: erf(0,45)

Ausgabe: 0,47548

12.10 Arithmetischer Mittelwert

avg(x) Berechnet den arithmetischen Mittelwert einer Werteliste.

Beispiel 12.10.1 Berechne das arithmetische Mittel der Werte 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12, also \overline{x} = (1 + 3 + 5 + 9 + 12)/5 = 30/5 = 6

Eingabe: avg(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 6

12.11 Varianz einer Stichprobe

var(x) Berechnet die Stichprobenvarianz \sigma^2 einer Werteliste.

Beispiel 12.11.1 Berechne die Varianz \sigma^2 der Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12, also \sigma ^2=((1-6)^2+(3-6)^2+(5-6)^2+(9-6)^2+(12-6)^2))/5=(25+9+1+9+36)/5=80/5=16

Eingabe: var(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 16

12.12 Standardabweichung

sd(x) Berechnet die Standardabweichung \sigma einer Werteliste.

Beispiel 12.12.1 Berechne \sigma für die Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12

Eingabe: sd(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 4