Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung und Funktionsgraph: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 22. Mai 2022, 10:57 Uhr

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub

0) Vorwissen zum Thema
1) Zuordnungen und Funktionen
2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen
2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph
2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung

2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen

Wertetabelle und Funktionsgraph

Wertetabelle erstellen

Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2· 1 + 5
= 7
Für x = 2 gilt: y = 2· 2 + 5
= 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:

x	0	1	2	3	4	...
y	5	7	9	11	13	...

Funktionsgraphen zeichnen

Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funkton.
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:

Übung 1

Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.

Applet von Hans Scharrer, jkreitner

Übung 2

Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a,b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben.
a) y = x
b) y = 2x
c) y = 0,5x
d) y = 2x + 1
e) y = 2x - 3
Fällt dir etwas auf?

Aufgabe	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
a)	y=x
b)	y=2x
c)	y=0,5x
d)	y=2x+1
e)	y=2x-3

Vergleiche deine Graphen

Funktionsgleichung und Funktionsgraph

f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.

Beobachtungen

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).

Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.

Die Steigung m

Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden

Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.

Ist m < 0, fällt die Funktion.

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.

Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

Wenn die Steigung m steil ist, muss der Maulwurf sehr mutig sein! Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:

Für steigt die Gerade und für fällt die Gerade.

Die Gerade steigt flach für und steil für .

Die Gerade fällt flach für und steil für .

0< m < 1m > 0m < -1m > 1-1 < m < 0m < 0

Übung 3: Steigende und fallende Geraden

Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.

Übung 4

Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = -x.

Prüft die Antworten mit GeoGebra.

Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?

Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben

Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).

Das Steigungsdreieck

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus $\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}$ bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.

Merke: Die Steigung m

Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Es gilt: m== $\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}$

Das Steigungsdreieck

Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen:

Was meinst du?

Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.

Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin.

Applet von Buß-Haskert

Übung 5

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

15

Die Steigung m eines Graphen ablesen

Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.

Übung 6

Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.

Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.

1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Übung 7

Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.

Übung 8

Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend. Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.

Übung 9

Löse die nachfolgenden LearningApps. Die Tipps unten helfen dir dabei.

Tipp: Steigungsdreiecke

Tipps zur LearningApp

Tipps zur LearningApp (Steigungsdreiecke)

Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).

Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub

1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
4. Erfinde selbst ein Beispiel.

Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.

x	1	2	3	...
y-Strecke	5	10	...
y-Eintrittskosten	13	...
y-Trainingskosten	...

Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub

Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck

Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest.

Übung 11

Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.

Übung 12

Zeichne jeweils den Graphen der proportionalen Funktion mithilfe eines Steigungsdreiecks.
a) f(x) = 2x
b) f(x) = -4x
c) f(x) = -x
d) f(x) = $\tfrac{1}{4}$ x
e) f(x) = - $\tfrac{1}{2}$ x
f) f(x) = $\tfrac{3}{4}$ x

g) f(x) = -

\tfrac{2}{7}

x

Tipps Übung 12

Zusammenfassung:
Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

Der y-Achsenabschnitt b

Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von m, also der Steigung einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter b für den Graphen der Funktion hat.

Beobachtung

Merke: Der y-Achsenabschnitt b

Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.
Der Graph ist eine Gerade.
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).

b ist der y-Achsenabschnitt.

Übung 14

Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.

Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.

Von der Geraden zu Funktionsgleichung

Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung

Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.

Erklärvideo:

und noch mehr Beispiele:

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch

Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden

Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.

leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)

Übung 16

Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx + b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.

Übung: Funktionsgleichung ablesen

Übung 17

Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft. Löse anschließend die App unten.

f(x) = ...
g(x) = ...
h(x) = ...
i(x) = ...

Tipp

f(x) = ...
g(x) = ...
h(x) = ...
p(x) = ...
q(x) = ...

Tipp

Applet von Manuel Graf

Von der Funktionsgleichung zur Geraden

Und nun umgekehrt...

Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.

1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)

2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).

3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = ${3 \over 5}$ x - 1.

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft! Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:

Übung 18 - online

Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.

Applet von Wolfgang Wengler

Übung 19

Zeichne die Geraden mithilfe des y-Achsenabschnittes und des Steigungsdreiecks.
a) f(x) = 3x + 1
b) f(x) = 3x - 1
c) f(x) = 0,5x + 2
d) f(x) = $\tfrac{3}{4}$ x - 3.

Nutze bei Bedarf den Tipp.

Tipp

Übung 20 - Domino

Erstelle gemeinsam mit deinem Partner/deiner Partnerin ein Domino zu Linearen Funktionen.

2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen

2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung

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