Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ==Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN<sup>*</sup>== | ||
===Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3=== | |||
<ggb_applet height="450" width="900" showmenubar="false" showreseticon="true" id="xhhysjna" /> | |||
{{Box|1=Aufgabe 1|2= | |||
Vergleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. | |||
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | # Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | ||
#* Definitionsbereich | #* Definitionsbereich | ||
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#* größte und kleinste Funktionswerte | #* größte und kleinste Funktionswerte | ||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | ||
: | {{Lösung versteckt| | ||
: Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind für n>1 nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden. Die verschiedenen blauen Graphen sind streng-monoton fallend. Rote und blaue Graphen haben alle den Punkt (1,1) gemeinsam (Begründung: 1<sup>r</sup> <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>). Der Wertebereich der blauen Graphen ist ]0,∞[. | |||
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|3=Arbeitsmethode}} | |||
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==Exponenten, Brüche und Potenzgesetze== | |||
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang: | |||
:''Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n<math>\neq</math>0 wird definiert:'' | |||
:''Für eine reelle Zahl | |||
:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math> | :<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math> | ||
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich: | Auf unsere Situation angewandt ergibt sich: | ||
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Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung:<br> | Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung:<br> | ||
''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion'' | ''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion'' | ||
<math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math> | <math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math> | ||
''den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.'' | ''den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.'' | ||
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:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt{x}</math> nur auf IR<sup>+</sup> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math> | :Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> für <math>n\geq2</math> nur auf IR<sup>+</sup><sub>o</sub> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>D = \mathbb{R}^+ \cup \{0\}.</math><br /> | ||
:Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' auf die Funktion ''f''.}} | :Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' grundsätzlich auf die Funktion ''f''. Einschränken muss man den Definitionsbereich von ''f'' allerdings noch um jene Werte, bei denen g(x)<math>=</math>0 gilt, also um x<math>=</math>0. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich der Funktion ''f'': D<math>=</math>IR<sup>+</sup>.}} | ||
}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
==Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen== | |||
<big>'''Beispiel I:'''</big> | |||
Es sei g eine Potenzfunktion, definiert auf D = IR<sup>+</sup><sub>0</sub> durch <math>g(x)=x^{\frac{1}{3}}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>g^{\,-1}=:f</math> von <math>\!\,g</math>. | |||
<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist:<br /> | |||
<math>\begin{array}{lcr} x^{\frac{1}{3}} & = & g(x) = y \\ x^{\frac{3}{3}} & = & y^3 \\ x & = & y^3 \end{array}</math> | |||
Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x<sup>3</sup>. | |||
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<big>'''Beispiel II:'''</big> | |||
Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit dem Definitionsbereich D = IR<sup>+</sup>. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f<sup>-1</sup>. | |||
Auflösen nach x ergibt:<br /> | |||
<math>\begin{array}{lcr} y & = & x^{-\frac{1}{3}} \\ y^3 & = & x^{- \frac{3}{3}} \\ & = & x^{-1} \\ y^3 & = & \frac{1}{x} \\ x \cdot y^3 & = & 1 \\ | |||
x & = & \frac{1}{y^3}\\ & = & y^{-3} \end{array}</math> | |||
<ggb_applet height="450" width="900" showmenubar="false" showreseticon="true" id="sukyfev6" /> | |||
''Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f<sup>-1</sup> und f(x)<math>=</math>x<sup>-1</sup>!'' | |||
=== | ===Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1=== | ||
Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_-_1._Stufe |Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]]. | |||
{{ | {{Box|1=Aufgabe 3|2= | ||
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine | Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt?<br /> | ||
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!<br /> | Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!<br /> | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart f(x)<math>=</math>x<sup>n</sup>.<br />Ähnliches gilt für Funktionen der Form <math>f(x) = x^{-{\frac 1 n}}</math> mit <math>n\geq2</math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. Hier lautet die Umkehrfunktion f(x)<math>=</math>x<sup>-n</sup>.<br /> Hat man aber eine Potenzfunktion f(x)<math>=</math>x<sup>n</sup> mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie - für gerade n - auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }} | ||
}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
<br /> | |||
===Zusammenfassung=== | |||
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form <font style="vertical-align:15%;"><math>f(x) = x^{\frac 1 n},</math> mit n ∈ IN<sup>*</sup> und <math>n\geq2</math></font> sind Potenzfunktionen der Form <math>f(x)\!\, = x^n.</math> Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR<sup>+</sup><sub>0</sub>.<br /> | |||
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form <font style="vertical-align:15%;"><math>f(x) = x^{- \frac 1 n},</math> mit n ∈ IN<sup>*</sup> und <math>n\geq2</math></font> sind Potenzfunktionen der Form <math>f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}</math>. Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR<sup>+</sup>. | |||
== *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip == | ==*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip== | ||
<small>freiwillig</small> | <small>(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)</small> | ||
<ggb_applet height="450" width="900" showmenubar="false" showreseticon="true" id="ju6exjps" /> | |||
{{Box|1=Aufgabe 4|2= | |||
Schau Dir dieses [https://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten: | |||
* '''S'''piegeln | |||
Schau Dir dieses [ | * '''S'''trecken | ||
* '''S'''tauchen | |||
* '''S'''chieben | |||
* '''S'''uperponieren | |||
Beantworte nun die folgenden Fragen: | |||
# Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er? | # Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er? | ||
# Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem | # Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich? | ||
# Wo gehen die Variationsmöglichkeiten über die im Video vorgestellten hinaus? | # Wo gehen die Variationsmöglichkeiten des Applets über die im Video vorgestellten hinaus? | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
== *Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen == | ==*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen== | ||
<small>(freiwillig)</small> | <small>(freiwillig)</small> | ||
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|<ggb_applet height=" | {{Box|1=Aufgabe 5|2= | ||
[[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.]] | |||
[[Bild:rosette_2.png|thumb|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]] | |||
[[Bild:rosette_3.png|thumb|right|250px| Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?]] | |||
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="tbeueb9m" /><br /><br /> | |||
Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form | Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form | ||
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mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt. | mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt. | ||
Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen: | Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen: | ||
# Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert? | # Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert? | ||
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# Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert? | # Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert? | ||
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'''Und nun geht's zum Abschlusstest''' | |||
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=Potenzfunktionen_-_Test}} | |||
[[Kategorie:Mathematik]] | |||
[[Kategorie:Interaktive Übung]] | |||
[[Kategorie:Analysis]] | |||
[[Kategorie:Potenzfunktionen]] |
Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:36 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN*
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3
Vergleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
- Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
- Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
- Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind für n>1 nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden. Die verschiedenen blauen Graphen sind streng-monoton fallend. Rote und blaue Graphen haben alle den Punkt (1,1) gemeinsam (Begründung: 1r 1 für alle ). Der Wertebereich der blauen Graphen ist ]0,∞[.
Exponenten, Brüche und Potenzgesetze
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
- Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n0 wird definiert:
- für
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung:
Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion
den Definitonsbereich D = IR+.
- Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion für nur auf IR+o definiert, das heißt ihr Definitionsbereich
- Aufgrund des Zusammenhangs überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion g grundsätzlich auf die Funktion f. Einschränken muss man den Definitionsbereich von f allerdings noch um jene Werte, bei denen g(x)0 gilt, also um x0. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich der Funktion f: DIR+.
Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
Beispiel I: Es sei g eine Potenzfunktion, definiert auf D = IR+0 durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von .
ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist:
Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)x3.
Beispiel II: Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit dem Definitionsbereich D = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f-1.
Auflösen nach x ergibt:
Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f-1 und f(x)x-1!
Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1
Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt?
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!
Ähnliches gilt für Funktionen der Form mit auf dem Definitionsbereich . Hier lautet die Umkehrfunktion f(x)x-n.
Hat man aber eine Potenzfunktion f(x)xn mit (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie - für gerade n - auf ihrem Defintionsbereich nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich , so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort .
Zusammenfassung
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form mit n ∈ IN* und sind Potenzfunktionen der Form Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR+0.
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form mit n ∈ IN* und sind Potenzfunktionen der Form . Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR+.
*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip
(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)
Schau Dir dieses Video (Link hier) auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten:
- Spiegeln
- Strecken
- Stauchen
- Schieben
- Superponieren
Beantworte nun die folgenden Fragen:
- Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
- Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
- Wo gehen die Variationsmöglichkeiten des Applets über die im Video vorgestellten hinaus?
*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen
(freiwillig)
Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form
mit zusammengesetzt.
Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen:
- Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert?
- Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut.
Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind. - Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
- Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
- Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?
Und nun geht's zum Abschlusstest