Potenzfunktionen - 3. Stufe

Potenzfunktionen

• Einführung
  
• Potenzfunktionen mit positivem ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit Stammbrüchen im Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen Stammbrüchen im Exponenten
• Test

Mathematik-digital.de

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form $\textstyle \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}^*$ als Exponenten haben.

Die Graphen der Funktionen f(x) = x^1/n, n ∈ IN^*

Funktionsgraph kennenlernen

Aufgabe 1

Rechts siehst Du den Graphen der Funktion $f(x)=x^{\frac 1 n}$ für $n \in \{2,3,4,5,6\}$.

1. Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
   • Definitionsbereich
   • Monotonie
   • größte und kleinste Funktionswerte
2. Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
   

   HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 

zu 1) Der Definitionsbereich ist IR⁺₀. Der kleinste Funktionswert y$=$0 wird für x$=$0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.

zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. Begründung: Es gilt 0^r $=$0 und 1^r $=$1 für alle $r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}$.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

Aufgabe 2

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
   • Definitionsbereich
   • Symmetrie
   • Monotonie
   • größte und kleinste Funktionswerte
2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
   

   HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 

zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y$=$0 wird für x$=$0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.

zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1^r $=$1 für alle $r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit $f(x)=x^{\frac 1 n}$ , $n \in \mathbb{N}^*.$

Merke

Wegen $x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$ nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR⁺₀. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit $f(x)=x^{\frac 1 n}$ die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)$=$ xⁿ und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur Umkehrfunktion siehe nächstes Kapitel).

Im Falle n$=$2 nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}$

Im Falle n$=$3 nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: $x^{\frac{1}{3}}$ bzw. $\sqrt[3]{x}$.

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonalen B in einem Quadrat der Seitenlänge a$=$1 über den Satz des Pythagoras $\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)$ zu:

$a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow$ $\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.$

Die Lösung $\textstyle d=-\sqrt{2}$ ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.

Auch die Länge der Raumdiagonale C im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: $B^2 + \!\,a^2 = C^2$) zu:

$\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow$ $\quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.$

Die Lösung ist also $\textstyle C = \sqrt{3}$ angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge s$=$5 ergibt sich über:

$V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.$

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V$=$27 durch ziehen der 3.-Wurzel:

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.$

Einfluss von Parametern

Aufgabe 3

Im Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern.

1. Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
2. Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?

zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a$=$0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)$=$c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion.
zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.

*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)

Einschränkung auf IR⁺₀

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: $\sqrt[3]{-8}= -2,$

Wegen

(-2)³ $=$-8

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

$-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.$

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei $f(x)=x^{\frac 1 n}$ für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

$f(x) = \sqrt[n]{x}$ mit $n \in \mathbb{N}$ und $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$

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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.

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