Potenzfunktionen - 1. Stufe

Potenzfunktionen

• Einführung
  
• Potenzfunktionen mit positivem ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit Stammbrüchen im Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen Stammbrüchen im Exponenten
• Test

Mathematik-digital.de

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1

1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
   • Symmetrie
   • Monotonie
   • größte und kleinste Funktionswerte
2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
   

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3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x² zu f(x) = x⁴, dann die beim Übergang von f(x) = x⁴ zu f(x) = x⁶ usw.!
4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xⁿ, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?

zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten $n \in \{0,2,4,6,...\}$. Dann gilt:

• Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
• Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
• Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.
  

zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.

• Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n$=$0 gilt (-1)⁰ $=$ 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten $\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}$ sind Vielfache von 2, also von der Art $2 \cdot k$ für alle $k \in {\Bbb N}$; dann gilt: $(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1$ für alle $k \in {\Bbb N}.$
• Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige $r \in {\Bbb R}$ ist 1^r$=$r und damit insbesondere für $r \in {\Bbb N}$.

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.

Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kⁿ-facht.

Symbolisch $f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)$.

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2

1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
   • Symmetrie
   • Monotonie
   • größte und kleinste Funktionswerte
2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
   

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3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x¹ zu f(x) = x³, dann die beim Übergang von f(x) = x³ zu f(x) = x⁵ usw.!

zu 1) Wir betrachten hier Exponenten $n\in\{1,3,5,7,...\}$. Dann gilt:

• Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
• Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; Beachte: für $n\in\{3,5,7,...\}$ haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
• Der Wertebereich der Funktion ist ganz ${\Bbb R}$, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit surjektiv).

zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.

Begründung für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x$=$-1 ist $f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.$ Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: $(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.$

Begründung für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0^r$=$0 und 1^r$=$1 für alle $r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}$.

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Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = xⁿ, n eine natürliche Zahl

1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
2. Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?

Der Punkt P(2;32) wird für n$=$5 durchlaufen: $f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32$.

Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n$=$3 durchlaufen: $f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375$.

Die Graphen von f(x) = a xⁿ, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^n$, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

Aufgabe 4

1. Es sei zunächst n = 2, also $f(x) = a \cdot x^2$. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
2. Beschreibe die Veränderung der Graphen von $f(x) = a \cdot x^n$ bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

zu 1.)

• Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
• Für a$=$1 bleibt er unverändert
• Für a$=$0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x)$=$0 für alle x.
• Der Wert a$=$-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.

zu 2.)

Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.

Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen der Form $f(x) = a \cdot x^n$, n eine natürliche Zahl

1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.

zu 1.) Lösung: a$=$-0,5 und n$=$3.

Begründung: An der Stelle x$=$1 ist $f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5$

und an der Stelle x$=$-2 ist $f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4$

zu 2.) Es gibt keine Lösung!

Begründung:

• Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^n$ mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt.
  
• Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a$=$1 sein (vgl. Aufgabe 4).
  
• Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss $f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3$ gelten.
  

Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die $(0,\!5)^n=3$ erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da $(0,\!5)^n \to 1$ für $n \to \infty.$

Teste Dein Wissen

• Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!

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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.

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