Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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__NOTOC__ | |||
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n< | ==Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>∈</small> IN== | ||
=== Gerade Potenzen === | ===Gerade Potenzen=== | ||
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, | '''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...''' | ||
{{Box|1=Aufgabe 1|2= | |||
{{ | # Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | ||
# Beschreibe | #* Symmetrie | ||
* Symmetrie | #* Monotonie | ||
* Monotonie | #* größte und kleinste Funktionswerte | ||
* größte und kleinste Funktionswerte | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | ||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. | |||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.! | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.! | ||
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | # Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | ||
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="jyhdqyrm" /> | |||
{{Lösung versteckt| | |||
:zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt: | |||
:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte. | |||
:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse. | |||
:* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br /> | |||
:<br /> | |||
:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam. | |||
:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)<sup>0</sup> <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math> | |||
:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1<sup>r</sup><math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>. | |||
:<br /> | |||
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert. | |||
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer. | |||
:<br /> | |||
:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br> | |||
: Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>. | |||
}} | }} | ||
<br> | |3=Arbeitsmethode}}<br> | ||
=== Ungerade Potenzen === | ===Ungerade Potenzen=== | ||
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, .. | '''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' | ||
{{Box|1=Aufgabe 2|2= | |||
{{ | |||
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf | # Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf | ||
* Symmetrie | #* Symmetrie | ||
* Monotonie | #* Monotonie | ||
* größte und kleinste Funktionswerte | #* größte und kleinste Funktionswerte | ||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre> | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.! | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.! | ||
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="qspxb2nx" /> | |||
{{Lösung versteckt| | |||
: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt: | |||
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0) | |||
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend. | |||
::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv''). | |||
: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.<br /> | |||
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math> | |||
:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0<sup>r</sup><math>=</math>0 und 1<sup>r</sup><math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>. | |||
}} | }} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
===Teste dein Wissen=== | |||
{{Box|1=Aufgabe 3|2= | |||
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl | |||
{{ | |||
Wir betrachten die Funktionen | |||
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? | # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? | # Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? | ||
{{Lösung versteckt| | |||
:Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br> | |||
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>. | |||
}} | }} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
< | ==Die Graphen von f(x) = a x<sup>n</sup>, mit a <small>∈</small> IR== | ||
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .''' | |||
{{Box|1=Aufgabe 4|2= | |||
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | |||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. | |||
<ggb_applet height="450" width=" | <ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="urua7my2" /> | ||
{{Lösung versteckt| | |||
{{ | : zu 1.) | ||
:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht. | |||
:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert | |||
:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x. | |||
:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus. | |||
: zu 2.) | |||
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten. | |||
}} | }} | ||
<br> | |3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1=Aufgabe 5|2= | |||
Wir betrachten wieder die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl | |||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben. | |||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | |||
<br /> | |||
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="g3yke6kx" /> | |||
{{ Lösung versteckt | | |||
<br> | :zu 1.) Lösung: a<math>=</math>-0,5 und n<math>=</math>3. <br /> | ||
: '''Begründung:''' An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> <br /> | |||
:: und an der Stelle x<math>=</math>-2 ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> <br /> | |||
:zu 2.) Es gibt keine Lösung! <br /> | |||
: '''Begründung:''' <br /> | |||
::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. <br /> | |||
::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a<math>=</math>1 sein (vgl. Aufgabe 4). <br /> | |||
::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. <br /> | |||
:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math> | |||
}} | }} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
===Teste Dein Wissen=== | |||
*[http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!] | |||
<br /> | |||
---- | |||
'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.'''<br /> | |||
== | {{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=Potenzfunktionen_-_2._Stufe}} | ||
[[Kategorie:Mathematik]] | |||
[[Kategorie:Interaktive Übung]] | |||
[[Kategorie:Analysis]] | |||
[[Kategorie:Potenzfunktionen]] |
Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:34 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
Aufgabe 1
- Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
- Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
- Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.!
- Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
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Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
Aufgabe 2
- Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
- Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
- Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!
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Teste dein Wissen
Aufgabe 3
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = xn, n eine natürliche Zahl
- Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
- Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
Aufgabe 4
- Es sei zunächst n = 2, also . Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
- Beschreibe die Veränderung der Graphen von bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
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Aufgabe 5
Wir betrachten wieder die Funktionen der Form , n eine natürliche Zahl
- Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
- Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
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Teste Dein Wissen
Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.