Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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__NOTOC__
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n Element der natürlichen Zahlen ==
==Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>&isin;</small> IN==
=== Gerade Potenzen ===
===Gerade Potenzen===


Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, als n = 2, 4, 6, ..
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
<br>
<br>
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_xn.ggb" />


<br><br>
{{Box|1=Aufgabe 1|2=  
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
# Beschreibe die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
* Symmetrie
#* Monotonie
* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.  
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? LÖSUNG!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
 
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="jyhdqyrm" />
 
{{Lösung versteckt|
:zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt:
:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
:* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br />
:<br />
:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)<sup>0</sup> <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1<sup>r</sup><math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
:<br />
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
:<br />
:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
: Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
}}
}}
<br>
|3=Arbeitsmethode}}<br>
 


=== Ungerade Potenzen ===
===Ungerade Potenzen===


Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..  
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
<br>
 
<br>
{{Box|1=Aufgabe 2|2=  
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_xn.ggb" />
<br>
<br>
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=  
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
* Symmetrie
#* Symmetrie
* Monotonie
#* Monotonie
* größte und kleinste Funktionswerte
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="qspxb2nx" />
{{Lösung versteckt|
: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt:
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').
: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.<br />
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>
:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0<sup>r</sup><math>=</math>0 und 1<sup>r</sup><math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}}
<br>
|3=Arbeitsmethode}}


===Teste dein Wissen===


TESTE dein Wissen
{{Box|1=Aufgabe 3|2=  
<br>
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=  
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?  
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?  
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?  
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
 
{{Lösung versteckt|
:Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}


<br>
==Die Graphen von f(x) = a x<sup>n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR==


== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>n</sup>, mit a Element der reellen Zahlen ==
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN, a <small>&isin;</small> IR  .'''


Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl, a eine reelle Zahl.
{{Box|1=Aufgabe 4|2=
<br>
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.


<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="urua7my2" />
filename="4_axn.ggb" />


<br><br>
{{Lösung versteckt|  
{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
: zu 1.)
# Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a*x<sup>2</sup>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a*x<sup>n</sup> bei der Veränderung des Parameter a ! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
<br>
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 5|2=
Wir betrachten wieder die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
<br />
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="g3yke6kx" />


TESTE dein Wissen
{{ Lösung versteckt |
<br>
:zu 1.) Lösung: a<math>=</math>-0,5 und n<math>=</math>3. <br />
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=  
: '''Begründung:''' An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> <br />
Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
:: und an der Stelle x<math>=</math>-2 ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> <br />
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(??;??) und B(??;??) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
:zu 2.) Es gibt keine Lösung! <br />
# Bestimme a und n so, ....
: '''Begründung:''' <br />
::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. <br />
::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a<math>=</math>1 sein (vgl. Aufgabe 4). <br />
::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. <br />
:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>
}}
}}
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
|3=Arbeitsmethode}}
filename="4_axn_test.ggb" />
 
 
===Teste Dein Wissen===
 
*[http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
 
<br />
----
 
'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.'''<br />  


== TESTE dein Wissen ==
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=Potenzfunktionen_-_2._Stufe}}


???????????????
[[Kategorie:Mathematik]]
Schön wäre ein Test wie bei der "Einführung"!
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
?????
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Potenzfunktionen]]

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:34 Uhr


Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
GeoGebra



Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!
GeoGebra

Teste dein Wissen

Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = xn, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?

Die Graphen von f(x) = a xn, mit a IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n IN, a IR .

Aufgabe 4
  1. Es sei zunächst n = 2, also . Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen von bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
GeoGebra


Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen der Form , n eine natürliche Zahl

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.


GeoGebra


Teste Dein Wissen



Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.