Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform

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Lernschritt Scheitelpunktform und Normalform

• In diesem Lernschritt wird die Normalparabel zunächst sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben und dann gefragt, wie die Funktionsgleichung aussieht, die zu dem verschobenen Graphen gehört.
• Im nächsten Schritt wird die Normalparabel dann nicht mehr nur verschoben, sondern zusätzlich auch noch in y-Richtung gestreckt.
• Es wird erklärt, was die Scheitelpunktform und was die Normalform einer Parabel ist.
• Schließlich wird gezeigt, wie man mithilfe einer so genannten quadratischen Ergänzung aus der Normalform einer quadratischen Funktion ihre Scheitelpunktform gewinnen kann.

1. Aufgabe - Funktionsgleichung aus Graph bestimmen

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf

In der Abbildung "QF05 Abbildung 1" ist eine Parabel $f$ dargestellt, die durch Verschiebung der Normalparabel im Koordinatensystem sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung entstanden ist.

1. Ermittle anhand der Abbildung die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel $f$.
2. Gib an, um wieviele Einheiten und in welche Richtungen die Normalparabel verschoben wurde.
3. Gib die Funktionsgleichung der Parabel $f$ an.

Man kann die Verschiebung in x- und y-Richtung in zwei Einzelschritte "Verschiebung in x-Richtung" und "Verschiebung in y-Richtung" aufspalten, die hintereinander ausgeführt werden, denn die entsprechenden Transformationsgleichungen gelten für alle Funktionen. Wenn man die Normalparabel also zuerst in x-Richtung verschoben hat, dann kann man auch auf die dadurch erzeugte Funktion die Transformationsgleichung für die Verschiebung in y-Richtung anwenden.

1. Der Scheitelpunkt der Parabel $f$ besitzt die Koordinaten $S(3|-4)$.
2. Der Scheitelpunkt der Normalparabel $O(0|0)$ wurde um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten zum Scheitelpunkt $S(3|-4)$ von $f$ verschoben. Entsprechend wurden auch alle anderen Punkte der Normalparabel und damit ihr gesamter Graph um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten verschoben.
3. Die Parabel besitzt die Funktionsgleichung $f(x) = (x - 3)^2 -4$

2. Aufgabe - Funktionsgleichung in Normalform

1. Forme die Funktionsgleichung $f(x) = (x - 3)^2 -4$ um, indem du die Klammer ausmultiplizierst oder eine Binomische Formel anwendest und anschließend so weit wie möglich zusammenfasst.
2. Berechne den Schnittpunkt dieser Parabel $f$ mit der y-Achse.

1. $f(x) = (x - 3)^2 -4$ $\Leftrightarrow f(x) = x^2 -6x + 9 - 4$ $\Leftrightarrow f(x) = x^2 -6x +5$
2. Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes $S_y$ mit der y-Achse: Setze in der Funktionsgleichung $x = 0$:
   $f(0) = 0^2 -6\cdot 0 +5 = 5$   Der Schnittpunkt mit der y-Achse besitzt die Koordinaten $S_y(0|5)$.

Scheitelpunktform und Normalform einer verschobenen Normalparabel

Die Funktionsgleichung $f(x) = (x - 3)^2 -4$ wird als Scheitelpunktform der Funktion $f$ bezeichnet, weil man darin die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesen kann. Die Gleichung $f(x) = x^2 -6x +5$ bezeichnet man als ihre Normalform. Darin nennt man den Ausdruck $x^2$ quadratisches Glied, den Ausdruck $-6x$ lineares Glied und $+5$ absolutes Glied des Funktionsterms. In der Normalform einer Parabel kann man am absoluten Glied direkt ablesen, wo sie die y-Achse schneidet.

Weiter unten in diesem Lernschritt folgen noch die allgemeinen Gleichungen der Scheitelpunkt- und Normalform einer quadratischen Funktion. Bei diesen wird dann zusätzlich auch noch eine Streckung der Parabel in y-Richtung berücksichtigt.

Quadratische Ergänzung

In der Scheitelpunktform sind die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesbar. Wenn man nun aber die Funktionsgleichung einer Parabel nur in der Normalform gegeben ist und ihr Scheitelpunkt ermittelt werden soll, dann stellt sich die Frage, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln kann.

Während die Umformung der Scheitelpunktform in die Normalform recht einfach zu bewerkstelligen ist, wie wir in der 2. Aufgabe gesehen haben, ist die Umformung in der entgegengesetzten Richtung nicht ganz so einfach, besteht aber im Prinzip aus den gleichen Schritten in umgekehrter Reihenfolge. Wir demonstrieren die Vorgehensweise, die auch als quadratische Ergänzung bezeichnet wird, an der Beispielfunktion $f$ aus der 2. Aufgabe. Unser Ausgangspunkt ist die Normalform:

$f(x) = x^2 -6x +5$

Als erstes wird geschaut, wie man die ersten beiden Summanden des Funktionsterms, also $x^2 -6x$ so durch eine Quadratzahl ergänzen kann, dass ein Ausdruck entsteht, den man mithilfe der ersten oder zweiten binomischen Formel in einen "Klammerausdruck zum Quadrat" umwandeln kann. In unserem Fall kommt dafür wegen des Minuszeichens im linearen Glied $-6x$ die zweite binomischen Formel in Frage, also $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Darin entspricht der Summand $a^2$ dem quadratischen Glied $x^2$ der Funktionsgleichung und der lineare Ausdruck $-6x$ dem mittleren Ausdruck in der Formel $-2ab$.

Welche Zahl entspricht nun in der Funktionsgleichung dem $b^2$ bzw. dem $b$ in der Formel? Das können wir ausrechnen, indem wir die beiden mittleren Ausdrücke aus Formel und Funktionsgleichung gleichsetzen: $-2ab = -6x$, anschließend in dieser Gleichung das $a$ durch $x$ ersetzen und dann noch auf beiden Seiten der Gleichung durch $-2x$ dividieren: $-2xb = -6x \Rightarrow b =3 \Rightarrow b^2 = 9$.

Nach dieser Vorüberlegung kommt jetzt im nächsten Schritt die eigentliche Ergänzung: Der Ausdruck $x^2 -6x +5$ wird einerseits um $9 = b^2$ ergänzt, um die binomische Formel anwenden zu können, andererseits wird die Zahl 9 aber auch gleich wieder subtrahiert, damit der Funktionsterm der Funktion $f$ insgesamt unverändert bleibt. Das sieht dann erst einmal etwas merkwürdig, nämlich so aus:

$f(x) = x^2 -6x \; \boldsymbol{+ 9 - 9} \; + 5$

Nun können die ersten drei Summanden des Terms nach der zweiten binomischen Formel mit $a = x$ und $b = 3$ in einen quadrierten Klammerausdruck umgewandel werden:

$f(x) = \boldsymbol{x^2 -6x + 9} \; - 9 + 5$

$f(x) = \boldsymbol{(x -3)^2} \; - 9 + 5$

Jetzt muss nur noch der Ausdruck $- 9 + 5$ zu $-4$ zusammengefasst werden und man erhält die Scheitelpunktform

$f(x) =(x-3)^2 -4$

3. Aufgabe - Quadratische Ergänzung üben

In dieser Aufgabe wird das Verfahren der quadratischen Ergänzung geübt. Folgende Funktionsgleichungen in Normalform sind gegeben:

1. $f(x) = x^2 -2x -8$
2. $g(x) = x^2 -4x +3$
3. $h(x) = x^2 +3x -4$

• Wandele jeweils die Normalform mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform um.
• Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes sowie den Schnittpunkt mit der y-Achse.
• Ermittle zur Kontrolle rechnerisch aus der Scheitelpunktform wieder die Normalform.

In dem GeoGebra-Applet kannst du die Parameter $d$ und $e$ für die Verschiebung in x- und y-Richtung mit der Maus verändern. Die Schieberegler kannst du durch kurze Klicks oder nach dem Anklicken mit den Pfeiltasten auf einen exakten Wert einstellen.

1. $f(x) = x^2 -2x + 1 - 1 -8$ $= (x - 1)^2 -9$,
   Scheitelpunkt $S(1|-9)$,  Schnittpunkt mit y-Achse $S_y(0|-8)$
2. $g(x) = x^2 -4x + 4 -4 + 3$ $= (x - 2)^2 -1$,
   Scheitelpunkt $S(2|-1)$,  Schnittpunkt mit y-Achse $S_y(0|3)$
3. $h(x) = x^2 +3x + 2,25 - 2,25 - 4$ $= (x + 1,5)^2 -6,25$,
   Scheitelpunkt $S(-1,5|-6,25)$,  Schnittpunkt mit y-Achse $S_y(0|-4)$

4. Aufgabe - Parabel verschieben und spiegeln

In dieser Aufgabe wird die Normalparabel verschoben und an der x-Achse gespiegelt. Dabei stellt sich heraus, dass in manchen Fällen die Reihenfolge, in der die entsprechenden Transformationen nacheinander ausgeführt werden, eine Rolle dafür spielt, welche Ergebnisfunktion man erhält.

In dieser Aufgabe werden die Transformationen "Spiegelung an der x-Achse" und "Verschiebung" hintereinander auf eine Normalparabel anwendet. Dabei wird untersucht, ob es eine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge die Transformationen ausgeführt werden. Erhält man eine andere Ergebnisparabel, wenn man die Reihenfolge umdreht? Dazu werden verschiedene Fälle betrachtet.

1. Man erhält den Graphen der Funktion $f$, indem man die Normalparabel zuerst an der x-Achse spiegelt und den daraus entstehenden Graphen anschließend um eine Einheit nach oben verschiebt. Bestimme die Funktionsgleichung und den Scheitelpunkt $S_f$ von $f$.
2. Um den Graphen der Funktion $g$ zu erhalten, wird die Normalparabel zuerst um eine Einheit nach oben verschoben und der daraus entstehende Graph anschließend an der x-Achse gespiegelt. Bestimme die Funktionsgleichung und den Scheitelpunkt $S_g$ von $g$.
3. In ihrer Entstehung unterscheiden sich die beiden Parabeln $f$ und $g$ nur in der Reihenfolge der Transformationen "Spiegelung an der x-Achse" und "Verschiebung in y-Richtung". Entscheide, ob durch die Vertauschung der Reihenfolge zwei verschiedene Parabeln entstehen oder ob die Reihenfolge bei diesen Transformationen keine Rolle spielt und die gleiche Parabel entsteht.
4. Untersuche, ob bei den beiden Transformationen "Spiegelung an der x-Achse" und "Verschiebung in x-Richtung" die Änderung der Transformationsreihenfolge jeweils zur Erzeugung einer anderen Parabel führt.

1. Erst Normalparabel an der x-Achse spiegeln führt zu $h(x) = -x^2$,
   dann diese Parabel um 1 Einheit nach oben verschieben: $f(x) = -x^2 +1$   Scheitelpunkt $S_f(0|1)$
2. Erst Normalparabel um 1 Einheit nach oben verschieben führt zu $h(x) = x^2 + 1$,
   dann diese Parabel an der x-Achse spiegeln: $g(x) = (-1) \cdot (x^2 +1) = -(x^2 +1)= -x^2 -1$   Scheitelpunkt $S_g(0|-1)$
3. Die Parabeln $f$ und $g$ sind verschieden, die Reihenfolge dieser Transformationen spielt hier also eine Rolle.

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