Manipulationen an Funktionen/Grenzwerte im Unendlichen

Bearbeite parallel zum Lernpfad das Arbeitsblatt zum Thema "Grenzwerte im Unendlichen".

Will man anhand des Funktionsterms Aussagen über den Verlauf des Graphens machen, muss man auch wissen, wie sich die Funktion für immer größer und immer kleiner werdende x- Werte verhält.
Anschaulich gesprochen: Man betrachtet den Funktionsgraphen am rechten und linken Bildrand.

Bei ganzrationalen Funktionen hast du in der 10. Klasse vier Fälle über den charakteristischen Verlauf einer Funktion kennen gelernt.

Auch mit dem Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen für immer größer werdende x- Werte hast du dich schon auseinandergesetzt.
Dieses Wissen wird jetzt noch weiter vertieft.

Hierfür ein Beispiel:

$f(x)=\frac{4x-3}{x}$

Fülle die Wertetabelle vollständig aus, indem du die Funktionswerte in das jeweilige Feld eingibst. Wenn sich das Feld grün färbt, war deine Eingabe richtig. Übertrage die berechneten Punkte in das GeoGebra-Applet und skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen von f über den Button "Freihandskizze erkennen". Wie verhält sich der Graph von f für immer größer, bzw. immer kleiner werdende x- Werte? Über die beiden Kontrollkästchen lässt sich der Graph der Funktion f und die Gerade, an die sich f annähert, anzeigen. Mit dem letzten Symbol "Verschiebe Zeichenblatt" in der Werkzeugleiste kannst du dir die beiden Graphen auch über den eigentlichen Bildrand hinweg anschauen. Unter dem gleichen Symbol lässt sich auch das Werkzeug "Vergrößere" auswählen. Sieh dir genau an, ob sich die beiden Graphen berühren! Übertrage den Graphen der Funktion f, sowie die Gerade in das Koordinatensystem auf deinem Arbeitsblatt.

<popup name="Antwort"> Der Graph der Funktion f: x -> $\frac{4x-3}{x}$ scheint sich für immer größer werdende x- Werte der Gerade y = 4 anzunähern.
Für immer kleiner werdende x- Werte nähern sich die Funktionswerte scheinbar ebenfalls dem Wert 4 an.
Durch das GeoGebra-Werkzeug "Vergrößere" hat es aber den Anschein, als würden sich die beiden Graphen nie berühren.
</popup>

Diese Vermutung lässt sich mathematisch untersuchen, wobei es hier hilfreich ist, f als Differenz zu schreiben.
Halte die wichtigsten Ergebnisse dabei auf deinem Arbeitsblatt fest.

f (x) = $\frac{4x-3}{x}$ = $\frac{4x}{x}$ - $\frac{3}{x}$ = 4 - $\frac{3}{x}$

Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch $\frac{3}{x}$ immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl 4 unverändert bleibt.
Also nähert sich f (x) für immer größer werdende x- Werte immer mehr 4 - 0 = 4 an.

Die Betrachtung einer Funktion f unter immer größer werdenden x- Werten schreibt man mathematisch:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

sprich"Limes von f (x) für x gegen + $\mathrm{\infty }$"

Durch den Limes von f (x) für x gegen -

$\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

wird untersucht, wie sich f (x) für immer kleiner werdende x- Werte verhält.

In unserem Beispiel können wir schreiben:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ = $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4x-3}{x}$ = $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }4-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{x}$ = 4 - 0 = 4

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man den Limes von f für x gegen - $\mathrm{\infty }$ untersucht, da das Vorzeichen hier keine Rolle spielt:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ = $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4x-3}{x}$ = $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }4-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{x}$ = 4 + 0 = 4

Damit heißt 4 der Grenzwert der Funktion f für x gegen + $\mathrm{\infty }$ und gegen - $\mathrm{\infty }$.

Allgemein

Im Applet siehst du die gebrochen rationale Funktion $f(x)=\frac{ax+b}{x}$.

Über die Schieberegler a und b lässt sich der Graph der Funktion verändern.
Welchen Zusammenhang kannst du zwischen a, b und der waagrechten Asymptote von f feststellen?

Betrachte auch hier das Verhalten des Funktionsgraphen für x gegen $+\mathrm{\infty }$ oder $-\mathrm{\infty }$, indem du die GeoGebra-Werkzeugleiste benutzt.
Wie lautet der Grenzwert von f ?

<popup name="Antwort"> Die Funktion $f(x)=\frac{ax+b}{x}$ nähert sich für immer größer und immer kleiner werdende x- Werte immer mehr der Gerade y = a an.

⇒ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=$ a und $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=$ a </popup>

Im nächsten Applet ist die Funktion f(x) = a ∙ e^{b ∙ x} + c abgebildet.
Welcher Zusammenhang besteht hier zwischen den drei veränderlichen Zahlen a, b und c und der waagrechten Asymptote von f ?

<popup name="Antwort"> Für b > 0 nähert sich die Funktion f(x) = a ∙ e^{b ∙ x} + c für immer kleiner werdende x- Werte immer weiter der Gerade y = c an. Geht man in positive x- Richtung, steigt die Funktion immer stärker, so dass man sie durch keine Zahl begrenzen kann.

⇒ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=$ c und $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$

Für b < 0 nähert sich f für immer größer werdende x- Werte immer mehr der Gerade y = c an. Je weiter man den Graphen in negativer x- Richtung betrachtet, umso größer werden die Funktionswerte.

⇒ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$ und $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=$ c </popup>
Fülle den Lückentext aus und übertrage die kontrollierten Antworten auf dein Arbeitsblatt.

Allgemein gilt:
Nähert sich der Graph einer Funktion f für immer größer werdende x-Werte einer Zahl G immer weiter an, so nennt man G den Grenzwert von f für x gegen + $\mathrm{\infty }$:
In mathematischer Schreibweise: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ = G

Auf gleiche Weise definiert man den Grenzwert einer Funktion f für immer kleiner werdende x- Werte, also für x gegen - $\mathrm{\infty }$, mit $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ = G

Die Gerade y = G ist dann eine waagrechte Asymptote für den Graphen von f.

Nähert sich eine Funktion f für immer größere x- Werte keiner festen Grenze an, sondern fällt bspw. gegen $-\mathrm{\infty }$, so heißt f divergent und man schreibt:
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Stimmt der Grenzwert einer Funktion für $x\to +\mathrm{\infty }$ mit dem Grenzwert für $x\to -\mathrm{\infty }$ überein, lassen sich beide Grenzwerte auch zusammenfassen, wie es in der folgenden Übung gemacht wurde.

Übung

Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Grenzwert zu.
Wenn du einen Graphen anklickst, wird das Bild vergrößert.
Beachte dabei den Funktionsterm, der ebenfalls Rückschlüsse auf den Grenzwert liefert.

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