Lernpfad Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden

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Lernschritt Parabeln und Geraden

• In diesem Lernschritt geht es um die Schnittpunkte von Parabeln und Geraden. Es stellt sich heraus, dass die Schnittpunktberechnung direkt auf die schon bekannte Nullstellenberechnung zurückgeführt werden kann.
• Das gilt auch für die Schnittpunkte zweier Parabeln.
• Außerdem wird noch der Sonderfall beleuchtet, dass eine Gerade eine Parabel nur in einem einzigen Punkt als Tangente berührt. Dieser Fall hängt eng zusammen mit der Frage, wie man die Steigung einer Parabel in einem Punkt definieren und berechnen kann.

1. Aufgabe (Erkunden) - Schnittpunkte von Parabel und Gerade

QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel $g(x) =x^2 -4x$ und Gerade $h(x) =2x -5$

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel $f(x) =x^2 -6x +5$

In der Abbildung QF08 Abbildung 1 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $h(x) =2x -5$ (als gestrichelte Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen in den Punkten $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$ schneiden.

1. Bestimme die Schnittpunkte beider Graphen rechnerisch.
2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +5$ (QF05 Abbildung 1)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = h(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -5$    | $-2x +5$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +5 = 0$    | pq-Formel anwenden
$\Rightarrow x_1 = 1$ und $x_2 = 5$
Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung $h(x)$, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in $g(x)$ zur Kontrolle):
$h(1) = 2 \cdot 1 -5 = -3$
$g(1) = 1^2 -4\cdot 1 = -3$
$h(5) = 2 \cdot 5 -5 = 5$
$g(5) = 5^2 -4\cdot 5 = 5$
Schnittpunkte von $g$ und $h$: $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$

2.
Die Berechnung der Schnittpunkte von $g$ und $h$ führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von $f(x) =x^2 -6x +5$ zu lösen ist. Die Schnittstellen von $g$ und $h$ sind also die Nullstellen der Parabel $f$.

2. Aufgabe (Erkunden) - Schnittpunkt von Parabel und Tangente

QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf
Parabel $g(x) =x^2 -4x$ und Gerade $t(x) =2x -9$

QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf
Parabel $f(x) =(x-3)^2$

In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $t(x) =2x -9$ (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt $S(3|-3)$ berühren, die Gerade $t$ also eine Tangente der Parabel ist.

1. Bestätige rechnerisch, dass es sich bei der Geraden $t$ tatsächlich um eine Tangente an die Parabel $g$ handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten $S(3|-3)$ besitzt.
2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +9$ (QF08 Abbildung 3)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = t(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -9$    | $-2x +9$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +9 = 0$    | 2. binomische Formel anwenden
$\Leftrightarrow (x-3)^2 = 0$    | (doppelte) Nullstelle ablesen
$\Rightarrow x_1 = x_2 = 3$
Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung $t(x)$, um die y-Koordinaten des Berührpunktes zu bestimmen (in $g(x)$ zur Kontrolle):
$t(3) = -2 \cdot 3 -9 = - 3$
$g(3) = 3^2 -4\cdot 3 = -3$
Berührpunkt von $g$ und $t$: $S(3|-3)$

2.
Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von $g$ und $t$ führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von $f(x) =x^2 -6x +9 = (x -3)^2$ zu lösen ist. Die Berührstelle von $g$ und $t$ ist also die (einzige) Nullstelle der Parabel $f$.

3. Aufgabe (Üben) - Schnittpunkte berechnen

Gegeben sind eine quadratische Funktion $f$ und eine lineare Funktion $g$. Berechne die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.

1. $f(x) =x^2$ ;    $g(x) = x +2$
2. $f(x) = x^2 -3x +9$ ;    $g(x) = 2x +3$
3. $f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5$ ;    $g(x) =0,5x -3$
4. $f(x) =2x^2 +2x +1$ ;    $g(x) =-2x -1$
5. $f(x) =-0,5x^2 +6x$ ;    $g(x) =0,5x +12$

1. $S_1(-1|1)$) ;    $S_2(2|4)$
2. $S_1(2| 7)$  ;    $S_2(3|9)$
3. $S_1(1|-2,5)$ ;    $S_2(3|-1,5)$
4. $S(-1|1)$
5. $S_1(3|13,5)$  ;    $S_2(8|16)$

4. Aufgabe (Üben) - Schnittpunkte zweier Parabeln

Gegeben sind eine zwei quadratische Funktionen $f$ und $g$. Berechne die Schnittpunkte beider Parabeln.

1. $f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5$ ;    $g(x) =-0,5x^2 -x +1,5$
2. $f(x) =x^2 -5x +9$ ;    $g(x) =2x^2 -x -12$
3. $f(x) =2x^2$ ;    $g(x) =-4x^2$

1. $S_1(-1,5|1,875)$) ;    $S_2(2|-2,5)$
2. $S_1(-7|93)$  ;    $S_2(3|3)$
3. $S (0|0)$

Der Parabelrechner

Mithilfe einer Normalparabel kann man beliebige Zahlen "graphisch multipliziert". Wie das praktisch geht, wird hier an einem sehr einfachen Beispiel erklärt. Aber eine rechnerische Begründung dafür zu finden, warum es tatsächlich immer funktioniert, das ist anschließend deine Aufgabe.

In unserem Beispiel sollen die beiden Zahlen 2 und 3 multipliziert werden. Da die Zahlen recht klein sind, reicht dafür die Normalparabel in der Abbildung QF01 Normalparabel Arial24.pfd aus. Für die Multiplikation größerer Zahlen benötigt man eine größere Normalparabel. Eine solche hängt z.B. im Mathematikum in Gießen als Exponat an der Wand. Eine Beschreibung dieses Parabelrechners findet man auch auf der Seite der Mathotek Der Parabelrechner - Er ist keine Konkurrenz für den Taschenrechner

QF08 Parabelrechner Arial24.pdf

Beispiel - Wie multipliziert man mit dem Parabelrechner?

Um beispielsweise die Zahlen $u=2$ und $v=3$ mit der Normalparabel graphisch zu multiplizieren, geht man zunächst im Koordinatensystem vom Ursprung aus um $u=2$ Einheiten nach links, also zum Punkt $(-2|0)$ und von dort aus senkrecht nach oben, bis man im Punkt $U(-2|4)$ auf die Normalparabel trifft. Anschließend geht man vom Ursprung aus um $v=3$ Einheiten nach rechts, also zum Punkt $(3|0)$ und von dort aus senkrecht nach oben, bis man im Punkt $V(3|9)$ auf die Normalparabel trifft. Nun zeichnet man die Strecke $\overline{UV}$. In der Abbildung kann man nun ablesen, dass diese Strecke $\overline{UV}$ die y-Achse im Punkt $P(0|6)$ schneidet. Die y-Koordinate 6 dieses Schnittpunktes ist das Produkt der beiden Ausgangszahlen $u$ und $v$, denn es ist $u \cdot v = 2 \cdot 3 = 6$

Es stellt sich die Frage: Warum und wie funktioniert dieser Parabelrechner eigentlich? Das soll in den nächsten beiden Aufgaben untersucht werden - erst am Beispiel $u=2$ und $v=3$ und dann anschließend für beliebige Faktoren $u$ und $v$.

5. Aufgabe (Begründen) - Parabelrechner Begründung am Beispiel

Begründe rechnerisch für die Zahlen $u=2$ und $v=3$, dass die Gerade durch die Parabelpunkte $U(-2|(-2)^2)$ und $V(3|3^2)$ die y-Achse im Punkt $(0|u \cdot v) = (0|6)$ schneidet.

Man stellt die Gleichung der Geraden $g(x) =m \cdot x +b$ auf, die durch die Punkte $U(-2|(-2)^2)$ und $V(3|3^2)$ geht. Dazu bestimmt man zunächst den Steigungsfaktor $m$ und anschließend den y-Achsenabschnitt $b$.

$m= \frac{3^2 -(-2)^2}{3-(-2)} = \frac{9 -4}{3 +2} = \frac{5}{5} = 1$

Um $b$ zu berechnen, kann man $m=1$ und die Koordinaten eines der beiden Punkte (z.B. $V(3|9)$) in die Geradengleichung $g(x) =m \cdot x +b$ einsetzen:

$g(3) = 1 \cdot 3 + b = 9$
$\Leftrightarrow b =6 =2 \cdot 3$

6. Aufgabe (Begründen) - Parabelrechner Beweis allgemein

Begründe rechnerisch für beliebige Zahlen $u, v \in \mathbb {R}$ ganz allgemein, dass die Gerade durch die Parabelpunkte $U(-u|(-u)^2)$ und $V(v|v^2)$ die y-Achse im Punkt $(0|u \cdot v)$ schneidet.

Man stellt die Gleichung der Geraden $g(x) =m \cdot x +b$ auf, die durch die Punkte $U(-u|(-u)^2)$ und $V(v|v^2)$ geht. Dazu bestimmt man zunächst den Steigungsfaktor $m$ und anschließend den y-Achsenabschnitt $b$ in Abhängigkeit von $u$ und $v$.

$m= \frac{v^2 -(-u)^2}{v-(-u)} = \frac{v^2 -u^2}{v+u}$
$= \frac{(v+u)\cdot (v-u)}{v+u} = v-u$

Um $b$ zu berechnen, kann man $m=v-u$ und die Koordinaten eines der beiden Punkte (z.B. $V(v|v^2)$) in die Geradengleichung $g(x) =m \cdot x +b$ einsetzen:

$g(v) = (v-u) \cdot v +b = v^2$
$\Leftrightarrow v^2 - u \cdot v +b = v^2$
$\Leftrightarrow b = u \cdot v$

Steigung einer Parabel

Eine Gerade mit der Funktionsgleichung $g(x) =mx + n$ ist überall "gleich steil", besitzt also in jedem Punkt den gleichen Steigungsfaktor $m$ . Eine Normalparabel wird dagegen immer steiler, je weiter man sich auf ihr vom Scheitelpunkt entfernt. (Siehe dazu auch QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe.) Bei ihr ändert sich die Steigung sogar kontinuierlich von Punkt zu Punkt.

Es stellt sich die Frage, wie man eine solche Steigung berechnen kann. Mithilfe der Differentialrechnung ist das für eine große Anzahl von Funktionen möglich. Für eine Parabel der Form $f(x) =a x^2 +bx +c$ geht das aber auch ohne Differentialrechnung mithilfe der pq-Formel.

Parabelsteigung als Tangentensteigung

Für eine Parabel $f(x) =a x^2 +bx +c$ ($a \not= 0$) definiert man die Steigung in einem Parabelpunkt $T(x_t|y_t)$ als Steigung $m$ der Tangente, die die Parabel im Punkt $T$ berührt. Diese Steigung lässt sich berechnen mit der Formel

$\boldsymbol{m = 2ax_t +b}$.

In der folgenden Aufgabe geht es darum, die Steigungsformel einer Parabel herzuleiten und anzuwenden.

7. Aufgabe (Begründen) - Parabel und Tangentengleichung

1. Gegeben ist die Gerade $t(x) = mx + n$, die die Parabel $f(x) =ax^2 +bx +c$ mit $a \not= 0$ im Punkt $T(x_t|y_t)$ als Tangente berührt. Zeige, dass die Tangente die Steigung $m = 2ax_t + b$ besitzt.
2. Bestimme die Gleichung derjenigen Tangente $t_1$, die die Normalparabel im Punkt $T_1(1|1)$ als Tangente berührt.
   Zeige, dass man dieses Ergebnis auch erhält, wenn man die Parabel $g(x) = x^2 -4x$ aus der 2. Aufgabe zu der Normalparabel $f(x) = x^2$ verschiebt und diese Verschiebung auch auf die Tangente $t(x) =2x -9$ und den Berührpunkt aus der 2. Aufgabe anwendet.
3. Berechne die Steigung der Normalparabel in den Punkten $T_2(2|4)$ und $T_{-2}(-2|4)$. Was fällt dir auf?

Durch Gleichsetzen der Funktionsterme $f(x) =ax^2 +bx +c$ und $t(x) = mx +n$ entsteht eine quadratische Gleichung. Da sich die Graphen nur in einem einzigen Punkt berühren, hat diese Gleichung auch nur eine einzige Lösung. Was bedeutet das für die Diskriminante?

Lösung zu 1.

Gegeben: $f(x) = a x^2 + bx +c$   und   $t(x) = m x +n$
Ansatz: $f(x) = t(x)$

$a x^2 +bx + c = m x +n$     | $-mx - n$
$\Leftrightarrow a x^2 + bx - mx +c -n =0$     | zusammenfassen durch Ausklammern von $x$
$\Leftrightarrow a x^2 + (b -m)x +c -n =0$     | durch $a$ dividieren, um pq-Formel anwenden zu können
$\Leftrightarrow x^2 + \frac{b -m}{a} \cdot x +\frac{c -n}{a} = 0$

Für die x-Koordinate des Berührpunktes liefert die pq-Formel genau eine Lösung. Dabei ist die Diskriminante $D = 0$. Anwendung der pq-Formel:
$x_t = -\frac{1}{2} \cdot \frac{b-m}{a} \pm \sqrt{\;0\;}$
$\Rightarrow x_t = -\frac{b-m}{2a}$
$\Rightarrow x_t = \frac{m-b}{2a}$
$\Rightarrow 2 a x_t = m-b$
$\Rightarrow \boldsymbol{m = 2 a x_t + b}$

Lösung zu 2.

Für $x_t = 1$,   $a = 1$ und $b = 0$ erhält man:
$m = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$
$y_t$ berechnen durch Einsetzen von $x_t =1$ in die Parabelgleichung:
$y_t = x_t^2 = 1^2 = 1$
$x_t =1$, $y_t =1$ und $m = 2$ in die Tangentengleichung $t(x) = m x +n$ einsetzen, um $n$ zu berechnen:
$y_t = m \cdot x_t + n$
$1 = 2 \cdot 1 + n$
$n = 1 -2 = -1$
$t_1(x) = 2x -1$

Oder mit Verschiebung:

$g(x) = x^2 -4x$ aus der 2. Aufgabe in Scheitelform umwandeln:
$g(x) = x^2 -4x +4 - 4$
$= (x -2)^2 -4$
Scheitelpunkt von $g$   :   $S_g(2|-4)$

Die Parabel $g$ kann durch eine Verschiebung um 2 nach links und 4 nach oben "zurück" zur Normalparabel verschoben werden. Diese Verschiebung kann man nun auch auf die Tangente $t(x) = 2x -9$ und den Berührpunkt $T(3|-3)$ aus der 2. Aufgabe anwenden:

$t_1(x) = t(x+2) +4$ $= 2(x+2) -9 +4$ $= 2x +4 -5$ $= 2x -1$
$T_1 (3-2|-3+4) = T_1(1|1)$

Lösung zu 3.

Steigung der Normalparabel im Punkt $T_2(2|4)$:  $m = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$
Steigung der Normalparabel im Punkt $T_{-2}(-2|4)$:  $m = 2 \cdot 1 \cdot (-2) = -4$

Beide Steigungsfaktoren unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Das passt zu der Tatsache, dass die beiden Punkte $T_2(2|4)$ und $T_{-2}(-2|4)$ gleich weit von der y-Achse entfernt sind und die Parabel achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft: Die Parabel fällt im Punkt $T_{-2}(-2|4)$ im gleichen Maße von links nach rechts, in dem sie im Punkt $T_2(2|4)$ von links nach rechts ansteigt.

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Form und Lage der Parabel $f(x) =a x^2 +bx +c$ mit den Schiebereglern für die Parameter verändern. Außerdem kann man mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler $x_t$ verändern.

8. Aufgabe (Üben) - Parabelsteigung berechnen

Berechne die Steigung der Parabel $f(x) = -0,5 x^2 -1,5 x +2$ an der Stelle $x_t = -1$.

Setze in die Steigungsformel $m = 2 a x_t + b$ die gegebenen Größen $a=-0,5$, $b=-1,5$ und $x_t = -1$ ein:

$m = 2 \cdot (-0,5) \cdot (-1) + (-1,5)$ $= -0,5$

9. Aufgabe (Üben) - Berührpunkt ermitteln

In welchem Parabelpunkt besitzt die Parabel $f(x) = \frac{1}{4} x^2 -1$ die Steigung $m=2$ ?

In die Steigungsformel $m = 2 a x_t + b$ die gegebenen Größen $m=2$, $a=\frac{1}{4}$ und $b=0$ einsetzen und nach $x_t$ auflösen:

$2 = 2 \cdot \frac{1}{4} x_t + 0$
$\Leftrightarrow x_t = 4$
$\Leftrightarrow y_t = \frac{1}{4} 4^2 -1 = 3$

$\Rightarrow T(4|3)$

10. Aufgabe (Üben) - Parabelgleichung ermitteln

Die Parabel $f(x) =a x^2 +1$ besitzt in ihrer negativen Nullstelle die Steigung 1. Berechne den Streckfaktor $a$ und die Nullstellen.

Nullstellen in Abhängigkeit von a:
$a x^2 + 1 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 = -\frac{1}{a}$
$\Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{1}{a}}$

(Bitte lass dich nicht durch das Minuszeichen unter der Wurzel irritieren: Eine Parabel, deren Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt und die zugleich Nullstellen besitzt, muss nach unten geöffnet sein. Der Faktor $a$ ist also negativ und damit ist der Bruch unter der Wurzel $-\frac{1}{a}$ eine positive Zahl.)

Den Koeffizienten $a$ aus der gegebenen Steigung an der Stelle $x_t = x_2 = -\sqrt{-\frac{1}{a}}$ ermitteln:
$m = 2a \cdot x_t$
$\Rightarrow m = 2a \cdot \left( -\sqrt{-\frac{1}{a}} \right) = 1$
$\Rightarrow a \cdot \left( -\sqrt{-\frac{1}{a}} \right)= \frac{1}{2}$     | auf beiden Seiten quadrieren
$\Rightarrow a^2 \cdot (- \frac{1}{a}) = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow -a = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow a = - \frac{1}{4}$

Nullstellen berechnen:
$- \frac{1}{4} x^2 + 1 = 0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4} x^2 = 1$
$\Leftrightarrow x^2 = 4$

$\Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$

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