Lernpfad Lineare Funktionen/LF02 Aufgaben

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1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x)=1,5x-4$ und der Punkt $P(4|2)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.
4. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden h an, die senkrecht zur Geraden f verläuft.

1. $f(4)=1,5\cdot 4-4$
   $2=6-4$    Die Funktion f liefert für den x-Wert $x=4$ den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.
2. Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0|-4)$
   Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
   $1,5x-4=0$ $\Leftrightarrow 1,5x=4$ $\Leftrightarrow x=4\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {8}{3}}$ $=2,6666...$ $=2,{\overline {6}}$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: $(2,{\overline {6}}|0)$
3. Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor $m=1,5$ wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt $b=0$:    $g(x)=1,5x$
4. Formel für den Steigungsfaktor $m_{h}$ einer Geraden h, die zur Geraden f (mit dem Steigungsfaktor $m_{f}$) senkrecht verläuft:     $m_{h}=-{\frac {1}{m_{f}}}$. Um $m_{h}$ zu erhalten, nimmt man den Kehrwert von $m_{f}$ und dreht zusätzlich noch das Vorzeichen um.
   $m_{f}=1,5={\frac {3}{2}}$ $\Rightarrow m_{h}=-{\frac {2}{3}}$
   Ergebnis: $h(x)=-{\frac {2}{3}}x$

2. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x)=x+1$ und der Punkt $P(-2|-0,5)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt $P(-2|-0,5)$ geht.
4. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die zur Geraden f senkrecht verläuft und durch den Punkt $P(-2|-0,5)$ geht.

1. $f(-2)=-2+1=-1$ Der Punkt $P(-2|-0,5)$ liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
2. Schnittpunkt mit y-Achse: $(0|1)$
   Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle):
   $x+1=0$ $\Leftrightarrow x=-1$     Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $(-1|0)$
3. Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor $m=1$, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b:
   $g(x)=x+b$
   $g(-2)=-2+b=-0,5\Rightarrow b=1,5$
   Die Gerade g hat die Gleichung $g(x)=x+1,5$
4. Steigung der Geraden h: $m_{h}=-{\frac {1}{1}}=-1$
   Zwischenlösung: $h(x)=-x+b$
   $P(-2|-0,5)$ einsetzen:
   $-0,5=-1\cdot (-2)+b$ $\Rightarrow b=-2,5$
   Ergebnis: $h(x)=-x-2,5$

3. Aufgabe (Üben) - Gerade und Punkt

Die Punkte $P(-4|y_{P})$ und $Q(x_{Q}|0,5)$ liegen beide auf der Geraden $f(x)=-0,75x+2$.

1. Bestimme die fehlenden Koordinaten $y_{P}$ und $x_{Q}$ der Punkte.
2. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P geht.

zu 1.

Berechnung von $y_{P}$:
$f(x)=-0,75x+2$
$f(-4)=-0,75\cdot (-4)+2=5$
Ergebnis: $y_{P}=5$

Berechnung von $x_{Q}$:
$f(x)=-0,75x+2$
   $0,5=-0,75x+2$     | $-2$
$\Rightarrow -1,5=-0,75x$     | geteilt durch (-0,75)
$\Rightarrow x=2$
Ergebnis: $x_{Q}=2$

zu 2.

$m_{f}=-0,75=-{\frac {3}{4}}$
Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: $m_{h}=-{\frac {1}{m_{f}}}$    (Kehrwert von $m_{f}$ bilden und Vorzeichen umdrehen)
$m_{h}={\frac {4}{3}}$
Zwischenergebnis: $h(x)={\frac {4}{3}}+b$    | Koordinaten von $P(-4|5)$ einsetzen:
   $5={\frac {4}{3}}\cdot (-4)+b$
$\Rightarrow {\frac {15}{3}}=-{\frac {16}{3}}+b$     | $+{\frac {16}{3}}$
$\Rightarrow b={\frac {31}{3}}=10,{\overline {3}}$
Ergebnis: $h(x)={\frac {4}{3}}x+{\frac {31}{3}}$

4. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

1. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte $P(2|3)$ und $Q(3|5)$ geht.
2. Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt $P(2|3)$ geht.

zu 1.

Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte $P(x_{P}|y_{P})$ und $Q(x_{Q}|y_{Q})$ geht:
$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}$

$y_{P}=3$ und $y_{Q}=5$   $\;\Rightarrow \Delta y=y_{Q}-y_{P}=5-3=2$

$x_{P}=2$ und $x_{Q}=3$   $\;\Rightarrow \Delta x=x_{Q}-x_{P}=3-2=1$

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {2}{1}}=2$

Zwischenergebnis: $f(x)=2x+b$

Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von $P(2|3)$:

    $f(2)=2\cdot 2+b$
$\Leftrightarrow 3=4+b$
$\Leftrightarrow b=-1$

Ergebnis: $f(x)=2x-1$

zu 2.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet: $(0|-1)$

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): $f(x)=2x-1$
   $0=2x-1$     | $+1$
$\Leftrightarrow 1=2x$     | $/2$
$\Leftrightarrow x=0,5$     (Nullstelle)
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $(0,5|0)$

zu 3.

Ansatz: $h(x)=-{\frac {1}{2}}x+b$

Koordinaten von $P(2|3)$ einsetzen:

$3=-{\frac {1}{2}}\cdot 2+b$
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 = -1 + b }     | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle + 1 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 4 }
Ergebnis: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x) = -0,5 x + 4 }

5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

1. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|3)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(1|-5)} geht.
2. Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
3. Gib die Gleichung der Geraden g an, die parallel zur Geraden f verläuft und durch den Koordinatenursprung geht.

zu 1.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac{-5 -3}{1 -(-3)} = \frac{-8}{4} = -2 }

Zwischenlösung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) =-2x + b }

Beispielsweise Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|3)} einsetzen:

    Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(-3) = -2 \cdot (-3) + b }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow 3 = 6 + b }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow b = -3 }

Ergebnis: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = -2x -3 }

zu 2.

Schnittpunkt mit der y-Achse: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0 | -3) }
Schnittpunkt mit der x-Achse:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = -2x -3 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 = -2x -3 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow 3 = -2x }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x = -1,5 }
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-1,5 | 0) } .

zu 3.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) = -2x }

Die Lösungen können auch mit den beiden folgenden GeoGebra-Applets überprüft werden:

GeoGebra-Applet für lineare Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) =m\;x + b }

GeoGebra-Applet für lineare Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) =m\;x + b } durch die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q}

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