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Lernpfad Lineare Funktionen/LF02 Aufgaben

Aus ZUM-Unterrichten



1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade f(x)=1,5x−4 und der Punkt P(4|2).

  1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
  2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
  3. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.
  4. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden h an, die senkrecht zur Geraden f verläuft.
  1. f(4)=1,5⋅4−4
    2=6−4    Die Funktion f liefert für den x-Wert x=4 den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.
  2. Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|−4)
    Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
    1,5x−4=0 ⇔1,5x=4 ⇔x=4⋅23=83 =2,6666... =2,6‾ Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: (2,6‾|0)
  3. Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor m=1,5 wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt b=0:    g(x)=1,5x
  4. Formel für den Steigungsfaktor mh einer Geraden h, die zur Geraden f (mit dem Steigungsfaktor mf) senkrecht verläuft:     mh=−1mf. Um mh zu erhalten, nimmt man den Kehrwert von mf und dreht zusätzlich noch das Vorzeichen um.
    mf=1,5=32 ⇒mh=−23
    Ergebnis: h(x)=−23x

2. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade f(x)=x+1 und der Punkt P(−2|−0,5).

  1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
  2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
  3. Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt P(−2|−0,5) geht.
  4. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die zur Geraden f senkrecht verläuft und durch den Punkt P(−2|−0,5) geht.
  1. f(−2)=−2+1=−1 Der Punkt P(−2|−0,5) liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
  2. Schnittpunkt mit y-Achse: (0|1)
    Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle):
    x+1=0 ⇔x=−1     Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet (−1|0)
  3. Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor m=1, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b:
    g(x)=x+b
    g(−2)=−2+b=−0,5⇒b=1,5
    Die Gerade g hat die Gleichung g(x)=x+1,5
  4. Steigung der Geraden h: mh=−11=−1
    Zwischenlösung: h(x)=−x+b
    P(−2|−0,5) einsetzen:
    −0,5=−1⋅(−2)+b ⇒b=−2,5
    Ergebnis: h(x)=−x−2,5

3. Aufgabe (Üben) - Gerade und Punkt

Die Punkte P(−4|yP) und Q(xQ|0,5) liegen beide auf der Geraden f(x)=−0,75x+2.

  1. Bestimme die fehlenden Koordinaten yP und xQ der Punkte.
  2. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P geht.

zu 1.

Berechnung von yP:
f(x)=−0,75x+2
f(−4)=−0,75⋅(−4)+2=5
Ergebnis: yP=5

Berechnung von xQ:
f(x)=−0,75x+2
   0,5=−0,75x+2     | −2
⇒−1,5=−0,75x     | geteilt durch (-0,75)
⇒x=2
Ergebnis: xQ=2

zu 2.

mf=−0,75=−34
Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: mh=−1mf    (Kehrwert von mf bilden und Vorzeichen umdrehen)
mh=43
Zwischenergebnis: h(x)=43+b    | Koordinaten von P(−4|5) einsetzen:
   5=43⋅(−4)+b
⇒153=−163+b     | +163
⇒b=313=10,3‾
Ergebnis: h(x)=43x+313

4. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q
  1. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte P(2|3) und Q(3|5) geht.
  2. Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
  3. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P(2|3) geht.

zu 1.

Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte P(xP|yP) und Q(xQ|yQ) geht:
m=ΔyΔx=yQ−yPxQ−xP

yP=3 und yQ=5   ⇒Δy=yQ−yP=5−3=2

xP=2 und xQ=3   ⇒Δx=xQ−xP=3−2=1

m=ΔyΔx=21=2

Zwischenergebnis: f(x)=2x+b

Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von P(2|3):

    f(2)=2⋅2+b
⇔3=4+b
⇔b=−1

Ergebnis: f(x)=2x−1

zu 2.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet: (0|−1)

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): f(x)=2x−1
   0=2x−1     | +1
⇔1=2x     | /2
⇔x=0,5     (Nullstelle)
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet (0,5|0)

zu 3.

Ansatz: h(x)=−12x+b

Koordinaten von P(2|3) einsetzen:

3=−12⋅2+b
3=−1+b     | +1
b=4
Ergebnis: h(x)=−0,5x+4


5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q
  1. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte P(−3|3) und Q(1|−5) geht.
  2. Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
  3. Gib die Gleichung der Geraden g an, die parallel zur Geraden f verläuft und durch den Koordinatenursprung geht.

zu 1.

m=−5−31−(−3)=−84=−2

Zwischenlösung: f(x)=−2x+b

Beispielsweise P(−3|3) einsetzen:

    f(−3)=−2⋅(−3)+b
⇒3=6+b
⇒b=−3

Ergebnis: f(x)=−2x−3


zu 2.

Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|−3)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
f(x)=−2x−3
0=−2x−3
⇒3=−2x
⇒x=−1,5
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: (−1,5|0).

zu 3.

g(x)=−2x


Die Lösungen können auch mit den beiden folgenden GeoGebra-Applets überprüft werden:

GeoGebra-Applet für lineare Funktion f(x)=mx+b

GeoGebra


GeoGebra-Applet für lineare Funktion f(x)=mx+b durch die Punkte P und Q

GeoGebra


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