Lazarus/Von Würmern und Chaostheorie

Die Logistische Gleichung als Modell für Populationen

In den 1980er Jahren war die Chaostheorie sehr in Mode. Und auch heute noch ist es spannend, wie ganz einfache Formeln komplizierte Folgen haben können.

Eine der bekanntesten Beispiele ist die so genannte Logistische Gleichung. Sie beschreibt in einem sehr sehr einfachen Modell die Menge von Modelltieren -- zum Beispiel irgendwelchen phantastischen Würmern -- die sich in Generationen vermehren. Die Gleichung beschreibt, wie die Anzahl der Tiere in einer Generation die Anzahl der Tiere in der nächsten Generation bestimmt:

$x_{n+1} = r \cdot x_n \cdot (1-x_n)$

• $x_n$ : Anzahl der Tiere in einer Generation (dargestellt als reelle Zahl zwischen 0 und 1)
  
• $x_ {n+1}$ : Anzahl der Tiere in der nächsten Generation (dargestellt als reelle Zahl zwischen 0 und 1)
  
• $r$ : Wachstumrate, die beschreibt, wie schnell eine sehr kleine "Bevölkerung" wächst.
  Sinnvolle Werte sind hier nur Werte <4. Für größere Werte kann es Computerfehler geben, weil die beträge der Zahlen immer riesiger werden können.

Aus dieser einfachen Gleichung entsteht das so genannte Feigenbaum-Diagramm, wenn man eine Variable der Gleichung langsam variiert. Diese Variable wird in nach rechts abgetragen. Nach oben werden die Anzahlen der Tiere abgetragen. Die Gleichung ist so vereinfacht, dass die "Anzahlen" der Tiere als Brüche zwischen 0 und 1 dargestellt wird, sozusagen als Werte zwischen "alles tot" (0.0) und "alles total überfüllt" (1.0). Informiere Dich über diese Gleichung im Internet und versuche, ein Lazarus-Programm zu schreiben, das ein Feigenbaum-Diagramm zeichnet.

Tipps zur Umsetzung

• Für ein und denselben Wert für $r$ müssen die Werte $x_n$ für viele verschiedene Werte von $n$ abgetragen werden und nicht nur einer.
• Damit das Feigenbaum-Diagramm schön wird, darf man nicht alle Werte $x_n$ abtragen, sondern erst die Werte ab einem gewissen Wert für $n$, z.B: $n>200$.
• Die Werte von $r$ sollten etwa zwischen 2.8 und 3.99 liegen, aber nicht den Wert 4 erreichen, weil dann sehr schnell extrem große Werte entstehen können und das Programm "abstürzen" kann.
• Als Startwert für $x_n; n=0$ sollte man nich 0 wählen, denn sonst bleibt nach der Gleichung der Wert auch bei 0.