Funktionen

Mathematische Funktionen

• In der Mathematik spielt der Begriff der Funktion eine zentrale Rolle. Eine Funktion beschreibt, in welcher Weise eine Größe $y$ von einer anderen Größe $x$ abhängt.

Lernpfade zum Thema Funktionen

• Lernpfad Lineare Funktionen
• Lernpfad Quadratische Funktionen
• Lernpfad Polynomfunktionen
• Lernpfad Exponentialfunktionen
• Lernpfad Gebrochenrationale Funktionen
• Lernpfad Trigonometrische Funktionen

Funktionenmaschine

Funktionenmaschine $f(x)=x^2$

Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: $5^2 = 5\cdot 5 = 25$.

Funktionsgleichung

Man kann die Arbeitsweise der Funktionenmaschine mithilfe einer Funktionsgleichung beschreiben, die angibt welche Rechenschritte man mit einem x-Wert durchführen muss, um den entsprechenden y-Wert zu erhalten. Bei der Quadrierfunktion lautet diese Gleichung z.B. einfach $y = x^2$. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: $f(x) = x^2$. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "$f$") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: $f(5) = 5^2$. Innerhalb der Funktionsgleichung nennt man den Ausdruck vor dem Gleichheitszeichen - z.B. $f(x)$ - auch Funktionswert, den Ausdruck hinter dem Gleichheitszeichen - im Beispiel $x^2$ - Funktionsterm. Die x-Werte werden manchmal auch als "Argumente" der Funktion bezeichnet.

Beispiele für Funktionenklassen

Lineare Funktionen

Die Funktion $g$ mit der Funktionsgleichung $g(x) =2 \cdot x + 1$ ist ein Beispiel für eine lineare Funktion. Bei ihr wird jeder x-Wert erst verdoppelt und anschließend das Ergebnis dann noch um 1 erhöht. Den x-Wert $x=5$ verarbeitet diese Funktion also zu dem y-Wert $f(5) = 2 \cdot 5 +1 = 11$ und den x-Wert $x=-2,5$ zu dem y-Wert $f(-2,5) = 2 \cdot (-2,5) +1 = -4$.

Quadratische Funktionen

Die Funktion$f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) =x^2 -4\cdot x +3$ ist ein Beispiel für eine quadratische Funktion. Bei ihr wird jeder x-Wert erst quadriert, dann das Vierfache von x subtrahiert und anschließend 3 addiert. Den x-Wert $x=5$ verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert $f(5) = 5^2 -4\cdot 5 +3 =25 -20 +3 = 8$ und den x-Wert $x=-2,5$ zu dem y-Wert $f(-2,5) =(-2,5)^2 -4 \cdot (-2,5) +3 =6,25 +10 +3 = 19,25$.

Gebrochenrationale Funktionen

Die Funktion$h$ mit der Funktionsgleichung $h(x) =\frac{1}{x}$ ist ein Beispiel für eine gebrochenrationale Funktion. Sie macht aus jedem x-Wert (außer dem Wert 0) den entsprechenden Funktionswert y, indem sie den Kehrwert von x bildet. Den x-Wert $x=5$ verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert $h(5) = \frac{1}{5} = 0,2$ und den x-Wert $x=-2,5 =-\frac{5}{2}$ zu dem y-Wert $f(-2,5) = -\frac{2}{5} = -0,4$. Den x-Wert 0 kann diese Funktion allerdings nicht verarbeiten, denn durch die Zahl 0 darf man bekanntlich nicht dividieren.

Funktion als "eindeutige Zuordnung"

Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert $x=3$ in die Funktion $f(x) =x^2$, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert $y=9$. Jedem x-Wert wird also eindeutig genau ein y-Wert zugeordnet.
Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein, d.h. es kann mehrere x-Werte geben, denen der gleiche y-Wert zugeordnet wird. So wird z.B. bei der Funktion $f(x) =x^2$ der y-Wert $y=9$ als Funktionswert sowohl dem x-Wert $x=-3$ als auch dem x-Wert $x=3$ zugeordnet, denn $f(-3)=(-3)^2 = 9$ ("Minus mal minus ergibt plus.") und $f(3) = 3^2 = 9$.

Funktionen als mathematisches "Modellierungswerkzeug"

Begriffe, die im Zusammenhang mit Funktionen häufig vorkommen

Argument oder Stelle $x$

x-Wert, input der Funktionsmaschine

Definitionsmenge oder Definitionsbereich $D_f$

Menge aller x-Werte, die für die Funktion $f$ zugelassen sind

Funktionswert an der Stelle x $f(x)$

y-Wert, derjenige y-Wert, der dem x-Wert $x$ von der Funktion $f$ zugeordnet wird, output der Funktionsmaschine

Zielmenge oder Wertebereich $W_f$

Menge aller y-Werte, die als Funktionswerte der Funktion $f$ vorkommen

Funktionsterm, z.B. $x^2$

Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte zu y-Werten

Funktionsgleichung, z.B. $f(x)=x^2$

Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet