Einführung in die Differentialrechnung/Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Einführung in die Differentialrechnung

• Einstieg
• Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate
• Von der Sekanten- zur Tangentensteigung
• Der Differenzenquotient
• Der Differentialquotient
• Die Ableitungsfunktion
• Die h-Schreibweise
• Zum Abschluss

< Mathematik-digital

Für diesen Abschnitt haben Sie 60 Minuten Zeit.

In diesem Abschnitt soll die zweite Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft und verallgemeinert werden. Sie lernen und üben, Sekantensteigungen und Tangentensteigungen zu bestimmen.

Barringer-Krater

Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten $A\left( x_0 | k(x_0) \right)$ und $B\left( x_1 | k(x_1) \right)$ kann mit $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}$ berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht.

Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion k(x) in zwei Punkten $A\left( x_0 | k(x_0) \right)$ und $B\left( x_1 | k(x_1) \right)$ schneidet, nennt man Sekante.

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}$ ist dann die Sekantensteigung.

Aufgabe 6

Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind: $x_1-x_0$ und $k(x_1)-k(x_0)$

Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)

Lösung mit Beschriftung

Aufgabe 7

Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300|180) und B(400|320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x₀ hinaus fortgesetzt denkt.

$m=\frac{320-180}{400-300}=\frac{140}{100}=1,4$

Dieser Wert ist größer als 1,15. Das heißt, dass das Raumfahrzeug diese Steigung nicht mehr bewältigen kann. Es ist aber auch nur die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten A und B und nicht die Steigung im Punkt A, die für das Herauskommen des Fahrzeugs interessant ist.

Information
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade (lokal) den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an. Wenn die Steigung der Tangenten positiv ist, steigt der Graph, wenn sie negativ ist, bedeutet dies, dass der Graph in diesem Punkt fällt.

In der Graphik der Lösung der Aufgabe 6 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Aufgabe 8

Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.

Berechnen Sie die Steigungen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie für $\Delta x$ und $\Delta y$ aus dem Applet entnehmen können.

Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen?

Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden. Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.

Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.

Verallgemeinerung

Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.

Aufgabe 9

Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit $f(x)=x^2$ gezeichnet.
a) Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
b) Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und C(1,5|f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
c) Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1|1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.

a) Die Steigung ist (ungefähr) 3.
b) Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.

c) Die Steigung ist (ungefähr) 2.

Aufgabe 10

Wir betrachten weiterhin die Funktion f mit $f(x)=x^2$.
a) Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte $x_0=1$ und $x_1=2$ mit Hilfe der Formel $m=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
b) Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1|1) an den Graphen besser an, indem Sie für x₁ einen Wert wählen, der näher an x₀ liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
c) Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.

a) Die Steigung ist $m=\frac{4-1}{2-1}=3$.
b) Wählt man $x_1=1,5$, so ergibt sich $m=2,5$.
c) Wenn man x₁ sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.

Die Idee bei der Annäherung der Tangente durch Sekanten ist es, den Wert x₁ immer mehr x₀ anzunähern. Dann ergibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.

Hausaufgaben

a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit $f(x)=x^2$ in Punkten A(3| 9) und B(-2| 4) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.
b) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit $f(x)=x^2$ in Punkten A(3| 9) und B(-2| 4) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a.
c) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit $f(x)=3 x^2+2$ im Punkt A(2| f(2)).

a) Die Steigungen sind ungefähr 6 und -4.
b) Die Steigungen sind 6 und -4.

c) Die Steigung ist 12.

Aufgabe Differenzieren

a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{x}$ in Punkten A(1| f(1)) und B(-0,5| f(-0,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.
b) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{x}$ in Punkten A(1| f(1)) und B(-0,5| f(-0,5)) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a.

a) Die Steigungen sind ungefähr -1 und -4.

b) Die Steigungen sind -1 und -4.

Testen

Sie sollten nach dem Test sagen können:

Ich kann Sekanten und Tangenten an Graphen von Funktionen zeichnen und ihre Steigungen aus der Zeichnung bestimmen.
Ich kann bei gegebener Funktionsvorschrift rechnerisch Sekantensteigungen bestimmen und damit Tangentensteigungen annähern.

1a) Welchen Wert hat $\Delta x$ für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x=1 und x=3? (!1) (2) (!3) (!5) (!8) (!9)

1b) Welchen Wert hat $\Delta y$ für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x=1 und x=3? (!1) (!2) (!3) (!5) (8) (!9)

1c) Was gibt $\Delta y$ in 1b) an? (Um wie viele Einheiten sich der Funktionswert zwischen den Stellen 1 und 3 verändert.)(!Die Funktionswerte an den Stellen 1 und 3.) (!Die Stellen für die Funktionswerte 1 und 3.) (!Die durchschnittliche Veränderung des Funktionswertes zwischen den Stellen 1 und 3.)

1d) Ein Teilstück einer Achterbahn kann mit der Funktion h[x]=0,2x³+x beschrieben werden. Mit welcher Berechnung kann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 am besten angenähert werden? ($\frac{h[2,0001]-h[2]}{2,0001-2}$) (!$\frac{2,0001-2}{h[2,0001]-h[2]}$) (!$\frac{h[2,001]-h[2]}{2,001-2}$)(!$\frac{2,001-2}{h[2,001]-h[2]}$) (!$\frac{h[2,01]-h[2]}{2,01-2}$)(!$\frac{2,01-2}{h[2,01]-h[2]}$)

Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.

Der Differenzenquotient