Einführung in die Differentialrechnung/Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate
Für diesen Abschnitt haben Sie 60 Minuten Zeit.
In diesem Abschnitt soll die erste Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft werden. Sie üben, mittlere Änderungsraten zu bestimmen und damit momentane Änderungsraten anzunähern.
Blumenvase
In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.
Zeit (Sekunden) Höhe (cm) 0 0,51 3 1,33 6 2,74 9 4,91 12 8,00 15 12,17 18 17,58
Mittlere Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.
Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)
Momentane Änderungsrate
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe.
Wenn der Wasserstand als Funktion von der Zeit mit einer Funktionsvorschrift gegeben ist, kann man die mittleren Änderungsraten auch rechnerisch bestimmen.
Hausaufgaben:
- Seite 155/6, Seite 156/7 (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
- Seite 40/6, Seite 41/7 (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
- Seite 41/2, Seite 45/1c, Seite 45/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
Testen
Sie sollten nach dem Test sagen können:
Ich kann mittlere Änderungsraten bestimmen, wenn die Werte in einer Wertetabelle vorliegen oder die Funktionsvorschrift gegeben ist.
Ich kann mit mittleren Änderungsraten die momentane Änderungsrate annähern.
Aus technischen Gründen werden an manchen Stellen bei den Aufgaben eckige Klammern statt der in diesem Zusammenhang sonst üblichen runden Klammern verwendet.
1a) Mit 10 Jahren war Peter 141 cm groß. Mit 12 Jahren war er 149 cm. Mit welcher mittleren Änderungsrate ist Peter während der zwei Jahre gewachsen? (4 cm/Jahr) (!8 cm/Jahr) (!2 cm/Jahr) (!6 cm/Jahr) (!10 cm/Jahr)
1b) Ein Auto beschleunigt von 0 auf 100 gemäß der Formel s[t]=1,5t², wobei s[t] die zurückgelegte Strecke zu einem bestimmten Zeitpunkt t in Sekunden angibt. Sara möchte einen möglichst guten Näherungswert für die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t=4 Sekunden berechnen. Welche beiden der folgenden Funktionswerte sollte sie dafür verwenden? (s[4]) (!s[4,01]) (!s[4,05]) (!s[4,001]) (s[4,0001]) (!s[4,5])
1c) Beziehen sich die folgenden Aussagen auf die mittlere oder die momentane Änderungsrate?
"Ich bin mit 110km/h geblitzt worden, wo nur 80 km/h erlaubt waren!" (Momentane Änderungsrate) (!Mittlere Änderungsrate)
"Unsere Sonnenblumen im Garten sind im letzten Monat durchschnittlich 1cm am Tag gewachsen." (!Momentane Änderungsrate) (Mittlere Änderungsrate)
"Bei unserer Hinfahrt zum Urlaub waren wir im Schnitt nur mit 80 km/h unterwegs, da die Autobahn so überfüllt war." (!Momentane Änderungsrate) (Mittlere Änderungsrate)
"Der ICE hat eine Höchstgeschwindigkeit von 330 km/h." (Momentane Änderungsrate) (!Mittlere Änderungsrate)
Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.