Einführung in die Differentialrechnung/Der Differentialquotient

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Merke

Der Differentialquotient f'(x0 ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient

Der Differentialquotient f'(x0) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet.

Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.


Im folgendem Applet können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.

GeoGebra

Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft.


Aufgabe 12
Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.


Testen

Sie sollten nach dem Test sagen können:

Ich kann die Bedeutung von Differenzenquotienten und des Differentialquotienten erklären. Ich kann erklären, wie man mit Hilfe von Differenzenquotienten den Differentialquotienten annähern kann.

Ordnen Sie die Ausdrücke unten den richtigen Oberbegriffen zu.

Differenzenquotient Sekantensteigung Durchschnittsgeschwindigkeit mittlere Änderungsrate
Differentialquotient Tangentensteigung Momentangeschwindigkeit momentane Änderungsrate

Wenn Sie mehr als zwei falsche Zuordnungen gemacht haben, sollten Sie vor der Weiterarbeit noch einmal die Definitionen und Zusammenhänge der Begriffe wiederholen.