Benutzer:Ukalina/Lernpfad Quadratwurzeln

Worum geht es in diesem Lernpfad?

• Wir starten mit einem geometrischen Puzzle-Experiment: Wie kann man zu einem vorgegebenen Quadrat ein neues Quadrat erstellen, dessen Fläche doppelt so groß ist?
• Mit welcher Zahl muss man die Seitenlänge eines Quadrates multiplizieren, um die Seitenlänge eines doppelt so großen Quadrates zu erhalten?
• Was ist die Quadratwurzel aus einer Zahl und wie berechnet man sie?
• ... und dann wird's irrational.

Puzzle-Experiment: Ein Quadrat wird doppelt so groß

Material

Abbildung 1: Zwei gleich große Quadrate

Abbildung 2 Notizblock Foto

Du brauchst für dieses Experiment zwei gleich große Quadrate aus Papier (Abbildung 1) oder Fotokarton. Praktisch sind Quadrate von einem Notizblock (Abbildung 2) oder quadratisches Origami-Papier mit einer Seitenlänge von 7,5 cm.

1. Aufgabe

Zerschneide die beiden Papierquadrate so in Teilstücke, dass du diese anschließend zu einem einzigen Quadrat zusammensetzen kannst. Der Flächeninhalt dieses Quadrates soll genau so groß sein wie die Flächeninhalte der beiden Ausgangsquadrate zusammengenommen. Im Vergleich zu einem der Ausgangsquadrate soll das neue Quadrat also doppelt so groß sein.

Abbildung 3: Zwei gleich große Quadrate mit ihren Diagonalen

Zerschneide jedes der beiden Quadrate einmal diagonal von einer Ecke zur schräg gegenüberliegenden, so dass insgesamt vier deckungsgleiche (kongruente) Dreiecke entstehen. Die Dreiecke sind gleichschenklig und rechtwinklig (Abbildung 3).
Wie kannst du diese vier Dreiecke zu einem einzigen Quadrat zusammensetzen?

Abbildung 4: Vier Dreiecke bilden ein Quadrat

Die Dreiecksseiten, die den rechten Winkeln gegenüberliegen, also die Diagonalen der Ausgangsquadrate, bilden die Seiten des neuen Quadrates (Abbildung 4). Da sich beim Aneinanderlegen der Dreiecke keine Teile überlappen und auch keine Lücken entstehen, ist die Fläche des zusammengesetzten Quadrates genau so groß wie die beiden Ausgangsquadrate zusammengenommen und damit doppelt so groß wie ein Ausgangsquadrat.

Merksatz

Ist die Seitenlänge eines Quadrates gleich $a$ und die Länge seiner Diagonalen gleich $d$, dann ist die Fläche des Diagonalenquadrates (Quadrat mit der Seitenlänge $d$) doppelt so groß wie die Fläche des Ausgangsquadrates. Kurz: $d^2=2\cdot a^2$.

Wie lang ist die Diagonale in einem Quadrat?

2. Aufgabe (Erkunden) - Streckfaktor durch Messen ungefähr bestimmen

1. Miss die Seitenlänge $a$ des Ausgangsquadrates und die Länge $d$ seiner Diagonalen. Bestimme anschließend die Zahl $k$, mit der man $a$ multiplizieren muss, um $d$ zu erhalten, für die also gilt: $k\cdot a=d$. Die Zahl $k$ wird auch als Streckfaktor bezeichnet.
2. Bestimme diesen Streckfaktor auch bei anderen Quadraten, z.B. mit den Seitenlängen 3 cm, 5 cm und 10 cm.

1. Wenn die Seitenlänge des Quadrates a =7,5 cm ist, dann beträgt die Länge seiner Diagonalen d ungefähr 10,6 cm. Um daraus den Streckfaktor k zu berechnen, kann man die Gleichung aufstellen: $k\cdot 7,5=10,6$. Dividiert man auf beiden Seiten durch 7,5 so erhält man: $k=10,6/7,5\approx 1,413$.
2. Beispiele für weitere Quadrate mit der Seitenlänge a und Länge der Diagonalen d:

Bestimmung des Streckfaktors k durch Messen

Quadratseitenlänge a	3	5	7,5	10
Länge der Diagonalen d	4,3	7,1	10,6	14,1
Streckfaktor k = d/a	1,433	1,42	1,413	1,41

Die Streckfaktoren in der Tabelle, die mithilfe gemessener Werte berechnet wurden, unterscheiden sich geringfügig voneinander und schwanken ungefähr um den Wert 1,42. Da beim Messen immer kleinere Ungenauigkeiten auftreten können, deutet dies darauf hin, dass es in Wirklichkeit nur einen einheitlichen Zahlenwert für den Streckfaktor gibt, der ungefähr bei 1,42 liegt.

Mit einer geometrischen Überlegung kann man logisch begründen, dass der Streckfaktor k tatsächlich bei allen Quadraten gleich groß ist. Auch rechnerisch lässt sich dies mithilfe der Gleichung $d^2=2\cdot a^2$ erklären.

3. Aufgabe (geometrisch Begründen) - Einheitlicher Streckfaktor

Wie kann man geometrisch begründen, dass der Streckfaktor k, der die Länge der Grundseite a auf die Länge der Diagonalen streckt, bei allen Quadraten gleich groß ist?

Die beiden gleichschenkligen Dreiecke, in die ein Quadrat durch seine Diagonale geteilt wird, besitzen neben dem rechten Winkel zwei 45°-Winkel. Da diese Dreiecke bei allen Quadraten in drei Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinader ähnlich. Nach dem Ähnlichkeitssatz für Dreiecke stehen damit auch die Längen entsprechender Seiten im gleichen Verhältnis zueinander. Insbesondere ist daher auch das Verhältnis der Diagonalenlänge zur Grundseitenlänge d/a bei allen Quadraten gleich groß.

4. Aufgabe (rechnerisch Begründen) - Einheitlicher Streckfaktor

Wie kann man rechnerisch begründen, dass der Streckfaktor k, der die Länge der Grundseite a auf die Länge der Diagonalen streckt, bei allen Quadraten gleich groß ist?

Es gelten die Gleichungen $d=k\cdot a$   (1)   und   $d^2=2\cdot a^2$  (2)   |  rechte Seite von (1) in (2) einsetzen

$(k\cdot a{)}^2=2\cdot a^2$    |  auf der linken Seite Klammer auflösen

$\iff k\cdot a\cdot k\cdot a=2\cdot a\cdot a$    |  auf der linken Seite Faktoren umordnen

$\iff k\cdot k\cdot a\cdot a=2\cdot a\cdot a$    |  auf beiden Seiten durch $a\cdot a$ dividieren

$\iff k\cdot k=2$

Der gesuchte Streckfaktor k ist also eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. Da die Größen a und d in der letzten Gleichung gar nicht mehr vorkommen, gilt diese unabhängig von ihnen und damit für alle Quadrate.

Damit stellt sich als Nächstes die Frage, welchen genauen Zahlenwert dieser Streckfaktor k besitzt.

Dem Streckfaktor k mit der Schachtelungsmethode näher kommen

Für den gesuchten Streckfaktor k muss die Gleichung $k\cdot k=2$ gelten. Für welche Zahl k gilt diese Gleichung genau?

• Würde man als Streckfaktor für $k=2$ wählen, wäre $k\cdot k=2\cdot 2=4$. Dieses k wäre also zu groß.
• Wählt man für k die nächstkleinere natürliche Zahl, also $k=1$, dann ist $k\cdot k=1\cdot 1=1$. In diesem Fall wäre k also zu klein. (Anschaulich findet in diesem Fall ja auch eigentlich gar keine Streckung statt.) Die gesuchte Zahl k mit der Eigenschaft $k\cdot k=2$ muss also definitiv zwischen 1 und 2 liegen. Geht es noch ein bisschen genauer?

5. Aufgabe (Erkunden) - Streckfaktor auf eine Stelle hinter dem Komma genau berechnen

1. Der Wert 1,5 liegt genau in der Mitte zwischen 1 und 2. Entscheide, ob dieser Wert als Streckfaktor k genau passt oder ob er zu groß oder zu klein ist.
2. Untersuche auf die gleiche Weise den Wert 1,4.

1. Für $k=1,5$ erhält man $k\cdot k=1,5\cdot 1,5=2,25$. Dieser Wert ist etwas größer als der angestrebte Wert 2. Die Zahl 1,5 ist also etwas zu groß.
2. Probiert man es mit dem kleineren Wert $k=1,4$, dann erhält man $k\cdot k=1,4\cdot 1,4=1,96$. Dieser Wert ist wiederum etwas zu klein - aber immerhin nur ein bisschen.
   Der gesuchte k-Wert muss also zwischen 1,4 und 1,5 liegen - und zwar eher in der Nähe des Wertes 1,4, weil dessen Quadrat deutlich näher an dem angestrebten Wert 2 liegt als das Quadrat von 1,5.

6. Aufgabe (Erkunden) - Weitere Nachkommastellen berechnen

1. Berechne den Streckfaktor k auf zwei Stellen hinter dem Komma genau. Beginne versuchsweise mit $k=1,41$.
2. Berechne mit dem Einschachtelungsverfahren den Streckfaktor k auf vier Stellen hinter dem Komma genau.

1. Versucht man es mit dem Wert $k=1,41$, so erhält man $k^2=1,41^2=1,9881$, was immer noch ein klein wenig zu klein ist.
   Für $k=1,42$ hingegen ist $k^2=1,42^2=2,0164$ etwas zu groß.
   Also muss das gesuchte k zwischen 1,41 und 1,42 liegen.
2. Durch weitere Schachtelungsschritte erhält man als Streckfaktor:
   $k=1,4142...$.
   Die drei Punkte deuten an, dass danach noch eine oder mehr Stellen folgen.

Ja, hört das denn nie auf? - Ist doch irrational!

Es wird deutlich, dass man durch die Fortsetzung dieser „Einschachtelungsmethode“ den Wert des gesuchten Streckfaktors k mit der Eigenschaft $k^2=2$ auf beliebig viele Nachkommastellen genau berechnen kann: Je mehr Schachtelungsschritte man durchführt, desto mehr Stellen hinter dem Komma erhält man und desto genauer wird der Wert.

Da stellt sich als Nächstes natürlich die Frage: Wie viele Schachtelungschritte benötigt man, bis man den ganz exakten Wert von k gefunden hat? Oder geht das Einschachtelungsverfahren bis ins Unendliche ohne erkennbare Regelmäßigkeit immer so weiter? Und wenn das so ist: Lässt sich das auch beweisen? Auf direktem Weg geht das sicherlich nicht, denn man kann ja schließlich nicht wirklich unendlich viele Schritte ausführen. Und solange man nur endlich viele Schritte ausgeführt hat, weiß man schließlich nicht, ob nicht mit dem nächsten Schritt das Ende erreicht wird oder eine periodische Wiederholung beginnt.

Allerdings kann man tatsächlich mit einem so genannten „indirekten Beweis“ begründen, dass die Zahl k, die die Gleichung $k^2=2$ erfüllt, eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen ist, die sich nicht ab einer bestimmten Stelle periodisch wiederholen. (Unendlich periodische Dezimalbrüche sind z.B. $\frac{1}{3}=0,333...=0,\bar{3}$ oder $\frac{140}{99}=1,414141...=1,\overline{41}$).

Das bedeutet wiederum: Diese Zahl k ist keine rationale Zahl ($k\notin \mathbb{\mathbb{Q}}$) und lässt sich daher auch nicht in Form eines Bruches $\frac{p}{q}$ darstellen, bei dem der Zähler p und der Nenner q ganzen Zahlen sind. Man spricht in diesem Fall von einer „irrationalen Zahl“.

Den klassischen Beweis des antiken Mathematikers Euklid hierzu findet man auf der Wikipediaseite Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid

Damit es für den exakten Wert dieser Zahl eine eindeutige Schreibweise gibt (die Dezimalzahldarstellung 1,4142... mit den drei Punkten ist ja weder exakt noch eindeutig), hat man ein eigenes mathematisches Symbol einführt: das Quadratwurzel-Symbol ^$\sqrt{}$ .

Definition $\sqrt{2}$   -   „Quadratwurzel aus 2“

• Als „Quadratwurzel aus 2“ (Schreibweise $\sqrt{2}$) bezeichnet man diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. Es gilt also: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$.

Zusammenfassung   -   Eigenschaften von $\sqrt{2}$

• $\sqrt{2}\approx 1,4142...$
• Die Dezimalbruchdarstellung von $\sqrt{2}$ ist unendlich und nicht periodisch und kann den tatsächlichen Wert immer nur näherungsweise wiedergeben, egal wie viele Stellen hinter dem Komma sie enthält.
• $\sqrt{2}$ ist keine rationale Zahl, d.h. $\sqrt{2}\notin \mathbb{\mathbb{Q}}$. Sie kann daher nicht - wie jede rationale Zahl - als ein Bruch $\frac{p}{q}$ dargestellt werden, bei dem Zähler und Nenner ganze Zahlen sind.
• Geometrisch anschaulich ist $\sqrt{2}$ der Streckfaktor, mit dem man die Seitenlänge a eines Quadrates multiplizieren muss, um die Länge d seiner Diagonalen zu erhalten: $d=\sqrt{2}\cdot a$. Für das Diagonalenquadrat gilt daher: $d^2=(\sqrt{2}\cdot a{)}^2={\sqrt{2}}^2\cdot a^2=2\cdot a^2$.
• Mit $a=1$ ergibt sich insbesondere: $\sqrt{2}$ ist die Länge der Diagonalen in einem Quadrat mit der Seitenlänge 1.

Weitere Informationen zu $\sqrt{2}$ findet man auf der Wikipediaseite Quadratwurzel aus 2

Die Quadratwurzel-Definition lässt sich auf weitere Zahlen erweitern und verallgemeinern:

Definition $\sqrt{a}$   -   „Quadratwurzel aus a“

• Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat a ist. Man bezeichnet diese Zahl mit dem Symbol $\sqrt{a}$.
• Die Zahl a unter der Wurzel wird als Radikand bezeichnet.
• Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: $\sqrt{0}=0$.
• Für negative Zahlen a ist die Quadratwurzel (zumindest vorläufig) nicht definiert.

(Zusätzliche Erläuterungen zu dieser Definition findest du auch im „Lernpfad Quadratische Funktionen“ auf der ZUM-Seite Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF01_Normalparabel#Quadratwurzel)

Das „Ziehen der Quadratwurzel“ als Gegenoperation zum Quadrieren

Das „Ziehen der Quadratwurzel“ kann in gewisser Weise als Gegenoperation zum Quadrieren aufgefasst werden: So ist z.B. $4^2=16$ und umgekehrt $\sqrt{16}=4$.

Allerdings muss man hierbei beachten, dass das Quadrieren einer Zahl zwar eindeutig ist, aber nicht umkehrbar eindeutig. Wenn man die Zahl 4 quadriert, erhält man eindeutig die Zahl 16. Aber die Frage: „Welche Zahl muss man quadrieren, um 16 zu erhalten?“ kann man nicht eindeutig mit einer einzigen Zahl beantworten, denn es ist auch $(-4{)}^2=16$.

Diese Tatsache muss insbesondere beim Lösen von Gleichungen beachtet werden. Die Gleichung $x^2=16$ kann man zwar nach $x$ auflösen, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die Gegenoperation zum Quadrieren, also das Wurzelziehen anwendet:

$x^2=16$   |   ^$\sqrt{}$
$x=4$

Diese zweite Gleichung ist aber zur ersten nicht mehr gleichwertig (äuquivalent), denn die erste besitzt die Lösungsmenge $\mathbb{𝕃}=\{-4;4\}$, die zweite jedoch nur die Lösungsmenge $\mathbb{𝕃}=\{4\}$.

Mit anderen Worten: Beim Lösen einer quadratischen Gleichung der Form $x^2=a$ (wobei a eine positive Zahl ist) erhält man durch das Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung nicht alle Lösungen, sondern erst mal nur eine, nämlich die positive Lösung $\sqrt{a}$. Um die vollständige Lösungsmenge zu erhalten, muss man die negative Lösung noch explizit „von Hand“ hinzufügen: $\mathbb{𝕃}=\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\}$.

Aufgaben

Alles klar? Hier kommen ein paar Aufgaben, mit denen du dein Wissen überprüfen kannst.